信号与系统 总结与理解
线性时不变系统
讨论信号，我们先得找个理想的环境，而又得和实际有比较相符，相差不能太大，于是就有了线性时不变系统，我们设输入信号为(x(t)),输出信号为(y(t))，如果一个系统能满足：
- 输入信号为(ax_1(t)+bx_2(t))，输出信号为(ay_1(t)+by_2(t))（线性）
- 输入信号为(x(t-m)),输出信号为(y(t-m))(时不变性)
则称该系统为线性时不变系统。
其实个人认为，线性时不变系统其实是实际中的各种系统的一个抽象，比如简单的电路系统，简单的声音处理系统等等，所以先研究线性时不变系统还是挺具有意义的。
信号的分解
首先来看，对于任意一个信号，我们希望用一种基本信号来将其表示，
先看离散时间信号(x[n])：
我们定义(delta[n]=left{egin{matrix}1(n=0)\0(其他)end{matrix}
ight.)，我们令(m[n]=x[k]delta[n-k])，注意此处(m[n])的变量是(n)，所以(m[n])是一个信号，又(x[n]=sum_k m[n])，即(x[n]=sum_{k=-infty }^{k=+infty}x[k]delta[n-k])，如此一来，我们就将任意一个信号用(delta[n])分解了。
再看连续时间信号(x(t)):
我们先定义以(Delta)间隔取样的阶梯信号(widehat{x(t)})，又定义
(delta_Delta[t]=left{egin{matrix}frac{1}{Delta}(0<tleqslant Delta)\0(其他)end{matrix}
ight.)，则(widehat{x(t)}=sum m(t)=sum x(kDelta)delta(t-kDelta)Delta)，又(x(t)={lim}_{Delta o 0}widehat{x(t)}={lim}_{Delta o 0}sum x(kDelta)delta(t-kDelta)Delta=int_{-infty}^{+infty}x( au)delta(t- au)d au)，同理我们也可将(m(t)=x( au)delta(t- au)d au)看成一个信号，不过这种信号由于带微分，可以理解(delta(t- au)d au=1(t= au))，如此一来，便能与离散信号相对应了。
冲击响应与卷积
上面谈到了任何一个信号都可以用(delta)信号分解，那么也就意味着对于一个线性时不变系统而言，我们只要得到其对(delta)信号的响应，那么我们就能够得知任何一个信号的响应，而系统对(delta)信号的响应称为冲击响应。
我们设离散系统的冲击响应为(h[n])，则由线性时不变系统的定义可得，(m[n]=x[k]h[n-k])为信号(x[k]delta[n-k])的响应，所以对应地有(y[n]=sum_k x[k]h[n-k])，将这个式子定义为卷积，即(y[n]=x[n]*h[n]=sum_k x[k]h[n-k])，连续时间系统有(y[t]=x(t)*h(t)=int x( au)h(t- au)d au)。
对于卷积这个式子我们可以有两种方式来理解：
- (m[n]=x[k]h[n-k])，n为变量，则(m[n])为一个信号，(y[n])是一系列的信号的叠加。
- (m[k]=x[k]h[n-k])，k为变量，对于n的每一个取值，都是(m[k])函数的求和。
其实两种方式分别是横向和纵向的理解，前者由一系列信号叠加，直接得到(y[n])，这是横向理解，而后者我们先得到(y[n])的每一个值，然后组成(y[n])，这是纵向的理解。
对于离散时间系统可以有两种方式来理解和求解卷积，而在连续时间系统，由于存在微分，理解上仍然可以，但求解就比较倾向于后者了。
傅里叶级数
继续说说信号分解的问题，上面用(delta)信号来分解了信号，但是可以发现，这种分解方式其实还是比较初级，是一种直观上的分解，如果我们从这个角度来进行信号的处理，其实就是在时间域上的处理，这里我们换一种信号来合成其他信号，这里我们选用(e^{jwt})。
为什么要选用它呢？这是一个很关键的问题，这里有，如果一个信号经过一个系统后，其输出信号只是输入信号乘上一个常数（可为复数），那么就该信号称为系统的特征函数，常数为特征值，对于线性时不变系统而言，指数函数(e^{st})和(z^n)就是一个特征函数，简单证明一下，线性时不变系统有冲激响应(h(t))
，(y(t)=int h( au )e^{s(t- au)}d au=e^{st}int h( au)e^{-s au}d au)，所以(e^{st})为特征函数。
傅里叶级数是这样的，一个周期信号可以用一系列的(e^{jwt})来表示，暂且不考虑一些特殊的信号，在实际中遇到的周期信号都能采用这种方式分解。给出分解方法：
(left{egin{matrix}x(t)=sum a_ke^{jkw_0t}\ a_k=frac{1}{T}int x(t)e^{-jkw_0t}dtend{matrix}
ight.)其中(w_0= frac{2pi}{T})为角频率。