正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4428
题目大意
长度为(n)的(0/1)串要求支持
- 修改一个位置
- 求区间([l,r])有多少个子区间重排后的二进制数可以被三整除
(1leq nleq 10^5)
解题思路
首先有(2^{2k}\%3=1(kin Z))和(2^{2k+1}\%3=2(kin Z))。
分三种情况考虑
- 有(1)个(1)那么显然无论如何都不可以被三整除
- 有(2k)个(1)那么我们之间都排在最后面就好了。
- 有(2k+1)个(1)（(k)不能为(0)），那么有一种方案就是把某个在奇数位置的(1)放到偶数位置就可以了，此时需要区间的长度至少为(2k+3)。
然后具体分析一下相当于一个区间(1)的个数不能为(1)且如果是奇数个那么必须至少有两个(0)。
看起来很复杂可以反过来做分成以下情况
- 区间全是(1)且长度为奇数
- 区间有一个(0)且长度为偶数
- 区间只有一个(1)
- 由于(2)和(3)会重复一种只有一个(1)和一个(0)的情况所以需要加回这个方案
第四种是最好维护的，顺便用树状数组记录就好了
然后前三种我们对于(0/1)的位置分别开一个(set)来查询某个位置前驱/后继的0/1。
然后第三种情况我们对于每个(1)考虑左右的(0)区间然后记录在树状数组(1)的位置
对于第二种情况我们考虑对于每个(0)考虑左右的(1)然后记录在那个(0)的位置
对于第一种情况我们之间记录到区间最左端的(0)处。
然后统计答案的时候要记得把边界的情况考虑
写起来有点麻烦
时间复杂度(O(nlog n))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,m,a[N],t[N],p[N];
set<ll> s[2];
void Change(ll x,ll val){
while(x<=n){
t[x]+=val;
x+=lowbit(x);
}
return;
}
ll Ask(ll x){
ll ans=0;
while(x){
ans+=t[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
ll Left(ll op,ll x)
{return (*--s[op].upper_bound(x));}
ll Right(ll op,ll x)
{return (*s[op].lower_bound(x));}
ll Count(ll n)
{return (n+1)/2*(n+2-(n&1))/2;}
ll Caunt(ll n)
{return n*(n+1)/2;}
ll Calc(ll L,ll R)
{return (L/2+1)*((R+1)/2)+((L+1)/2)*(R/2+1);}
void Updata(ll x){
if(x<1||x>n)return;
if(p[x])Change(x,-p[x]);
if(a[x]){
ll L=(x-Left(1,x-1)-1),R=(Right(1,x+1)-x-1);
p[x]=(L+1)*(R+1)-1;
}
else{
ll L=(x-Left(0,x-1)-1),R=(Right(0,x+1)-x-1);
p[x]=Calc(L,R)+Count(R);
}
if(x<n&&a[x]!=a[x+1])p[x]--;
Change(x,p[x]);
return;
}
ll Get(ll x,ll l,ll r){
ll L=max(Left(0,x-1),l-1),R=min(Right(0,x+1),r+1);
L=x-L-1;R=R-x-1;
return Calc(L,R);
}
ll Qet(ll x,ll l,ll r){
ll L=max(Left(1,x-1),l-1),R=min(Right(1,x+1),r+1);
L=x-L-1;R=R-x-1;
return (L+1)*(R+1)-1;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
s[0].insert(0);s[0].insert(n+1);
s[1].insert(0);s[1].insert(n+1);
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]),s[a[i]].insert(i);
for(ll i=1;i<=n;i++)
Updata(i);
scanf("%lld",&m);
while(m--){
ll op,l,r,x;
scanf("%lld",&op);
if(op==1){
scanf("%lld",&x);
s[a[x]].erase(x);
a[x]=!a[x];
s[a[x]].insert(x);
Updata(x);
Updata(Left(0,x-1));
Updata(Left(1,x-1));
Updata(Right(0,x+1));
Updata(Right(1,x+1));
}
else{
scanf("%lld%lld",&l,&r);
ll ans=(r-l+1)*(r-l+2)/2;
if(Left(1,r)<l){printf("%lld
",ans);continue;}
if(Left(0,r)<l){ans-=Count(r-l+1);printf("%lld
",ans);continue;}
ans-=Ask(r)-Ask(l-1);
if(r<n&&a[r]!=a[r+1])ans--;
ll Ll=Left(0,l-1),Rr=Right(0,r+1),Lr=Left(0,r),Rl=Right(0,l);
ans=ans+Get(Rl,1,n)-Get(Rl,l,r);
if(Lr!=Rl)ans=ans+Get(Lr,1,n)-Get(Lr,l,r);
if(a[r+1])ans=ans+Count(Rr-Lr-1)-Count(r-Lr);
if(a[l])ans=ans-Count(Rl-l);
Ll=Left(1,l),Rr=Right(1,r),Lr=Left(1,r),Rl=Right(1,l);
ans=ans+Qet(Rl,1,n)-Qet(Rl,l,r);
if(Lr!=Rl)ans=ans+Qet(Lr,1,n)-Qet(Lr,l,r);
// if(!a[r])ans=ans+Caunt(Rr-Rl-1)-Caunt(r-Rl);
// if(!a[l])ans=ans-Caunt(Lr-l);
printf("%lld
",ans);
}
}
return 0;
}