正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF585E
题目大意
给出一个大小为\(n\)的可重集\(T\)，求有多少个它的非空子集\(S\)和元素\(x\)满足
\(x\notin S,gcd\{S\}>1,gcd(S,x)=1\)
\(1\leq n\leq 5\times 10^5\)，值域范围是\([2,10^7]\)
解题思路
\(x\notin S\)这个条件是没有用的，可以去掉
然后设\(f_i\)表示与\(i\)互质的数的个数，\(s_i\)表示\(gcd\)为\(i\)的集合个数，那么答案就是\(\sum f_is_i\)
然后设\(c_i\)表示\(i\)的个数
\[f_i=\sum_{d|i}^n\mu(d)\sum_{d|j}c_j
\]
然后可以处理出一个\(g_d=\sum_{d|j}c_j\)就可以了。
然后考虑\(s_i\)怎么处理
\[s_i=2^{c_i}-1-\sum_{i|d}(2^{c_d}-1)
\]
就好了。
然后这些都可以用狄利克雷前缀/后缀和\(O(n\log \log n)\)求
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+1,P=1e9+7;
int n,cnt,pri[N],mu[N],f[N],s[N],pw[N],ans;
bool v[N];
int main()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
v[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)break;
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;scanf("%d",&x);
f[x]++;;
}
pw[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
for(int i=N/pri[j];i>=1;i--)
f[i]+=f[i*pri[j]];
for(int i=1;i<N;i++)s[i]=pw[f[i]]-1;
for(int i=1;i<N;i++)f[i]=f[i]*mu[i];
for(int j=cnt;j>=1;j--)
for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)
f[i*pri[j]]+=f[i];
for(int j=cnt;j>=1;j--)
for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)
(s[i]-=s[i*pri[j]])%=P;
for(int i=2;i<N;i++)
(ans+=1ll*f[i]*s[i]%P)%=P;
printf("%d\n",(ans+P)%P);
return 0;
}