解法1

先将a、b转化为10进制整数相加在转化为二进制字符串.
但是Java 中：

如果字符串超过 33 位，不能转化为 Integer
如果字符串超过 65 位，不能转化为 Long
如果字符串超过 500000001位，不能转化为 BigInteger

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        return Integer.toBinaryString(
            Integer.parseInt(a, 2) + Integer.parseInt(b, 2));
    }
}

解法二

借鉴列竖式将a、b末端对其，逐位相加逢2进1，用carry保存上一位的进位，则每一位的答案为 $carry + a_i + b_i)\% 2$ ,每一位的进位为 $carry + a_i + b_i)\% 2$ ，如果最后一位进位为1则再字符串头部补1。下面的代码先对不同长度的字符串进行了补齐，再进行逐位相加。

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
       int len = Math.max(a.length(), b.length());
       while(a.length() < b.length())a="0"+a;//补0
       while(b.length() < a.length())b="0"+b;
       int carry = 0;
       String ans = "";
       for(int i = len -1; i >=0; i--) {
            int k = Integer.valueOf(a.charAt(i)) - 48,l = Integer.valueOf(b.charAt(i))-48;
            ans = ((k+l+carry)%2) + ans;
            carry = (k + l + carry)/2;
       }
       if(carry == 1)ans = "1"+ans;
       return ans;
    }
}

下面的代码没有进行补齐也能进行相加。

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
       StringBuffer ans = new StringBuffer();

       int len = Math.max(a.length(), b.length()), carry = 0;
       for(int i = 0; i < len; i++){
           carry += i < a.length() ? a.charAt(a.length() -1 -i) - '0': 0;
           carry += i < b.length() ? b.charAt(b.length() -1 -i) - '0': 0;
           ans.append((char)(carry%2 + '0'));
           carry /=2;
       }
       if(carry == 1){
           ans.append('1');
       }
       return ans.reverse().toString();
    }
}

解法三

使用位运算代替加法，可以有以下算法:
把a、b转化为十进制整形数字x、y，使用x保存结果，y保存进位

计算当前x与y的无进位相加结果：answer = x ^ y‘
计算当前x与y的进位：carry = (x & y) << 1
完成循环更新:x = answer,y = carry

返回x的二进制形式
该算法模拟了进位左移，直到无进位时加法结束

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        int x = Integer.parseInt(a,2), y = Integer.parseInt(b,2);//把字符串转化为十进制整数
        int answer, carry;
        while(y!=0){
            answer =  x ^ y;//无进位的相加结果
            carry = (x & y) << 1;//计算进位
            x = answer;
            y = carry;
        }
        return Integer.toBinaryString(x);
    }
}