HDU 4923 Room and Moor (单调栈)

题意：

　　给你一个A数列，让你求一个单调递增的B数列(0<=bi<=1)，使得sum{(ai-bi)^2}最小。

思路：

　　很明显，如果A = 0...01...1，那么bi=ai即可。

　　可以证明，如果 A = 1...10...0，那么所有bi达到同一个值的时候取得最优值。 假设 ai = 1, aj = 0， 那么 i<j ，所以bi<=bj。 若bi != bj，那么增大bi的值，或者减小bj的值都可以得到更优的结果。 所以，bi=bj。

　　所以，如果A数列里面出现了形如 "1...10...0"的部分，我们都可以把它当做同一段处理。因为他们对应的bi值一定相同。

　　这样，我们可以得到一个中间序列，x1, ..., x1, x2, ..., x2, ..., xm, ...xm. 我们可以把它简化为，x1, ..., xm。其中 xi对应着每一段的最优值。

　　我们可以发现，这里的xi不一定单调递增。 然后我们仿照上面的证明，知道当有相邻两段的xi递减时，会在他们所有的bi相等时取得最优值。因此，我们可以把这两段合并，求出一个满足单调性的值。

　　所以，最后的B序列一定是这样：y1, ..., y1, ..., ym, ..., ym。所以我们可以用一个单调栈来维护所有的bi值。

代码：

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <functional>
#include <time.h>

using namespace std;

typedef pair<double, int> PDI;

const int INF = 1<<30;
const int MAXN = (int) 1e5+7;

int n;
int a[MAXN];
double b[MAXN];

PDI sk[MAXN]; //栈
int tail; //栈顶指针

void solve() {
    tail = 0; //栈初始化

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sk[tail++] = make_pair(1.0*a[i], 1); //当前点入栈
        while (tail>1 && sk[tail-1].first<=sk[tail-2].first) { //如果栈不满足单调性，合并最上面两个节点
            int cnt = sk[tail-1].second+sk[tail-2].second;
            double tmp = (sk[tail-1].first*sk[tail-1].second+sk[tail-2].first*sk[tail-2].second)/cnt;
            sk[tail-2] = make_pair(tmp, cnt);
            tail--;
        }
    }
    //求出bi
    for (int i = 0, j = 0; i < tail; i++)
        for (int k = 0; k < sk[i].second; k++)
            b[j++] = sk[i].first;
    //求出结果
    double ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        ans += (a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);
    printf("%f
", ans);
}

int main() {
    #ifdef Phantom01
        freopen("HDU4923.txt", "r", stdin);
    #endif //Phantom01

    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        solve();
    }

    return 0;
}