【bzoj4872】【shoi2017】分手即是祝愿

4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏

的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被

改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机

操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，

可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个

策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使

用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定

是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0

0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

 

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

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题解：
        从后往前求出最小次数；
       发现策略变化比较单一，是一条链的情况;
       fi 表示还有次操作的情况 ；
       fi = (i/n)fi-1 + (1 - i/n)fi+1 + 1;
       观察到i/n + 1-i/n = 1;
      (i/n)(fi-fi-1) = ((n-i)/n)(fi+1-fi) + 1;
      gi = fi - fi-1 --->  gi = ((n-i)gi+1 + n) / i ;
      然后就想了很久初值的问题。。。猛然发觉gn = 1;
      时间复杂度：O(n)
      20181103s

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define ll long long
#define ld long double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=100010 , mod=100003;
int n,k,a[N],b[N],cnt,g[N],f[N],iv[N],pw[N];
int main(){
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
    scanf("%d%d", &n,&k);
    iv[1]=pw[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        iv[i]=1ll*(mod-mod/i)*iv[mod%i]%mod;
        pw[i]=1ll*pw[i-1]*i%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=n,t;i;i--){
        t=a[i];
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)t^=b[j];
        if(t)cnt++,b[i]=1;
    }
    if(cnt<=k)printf("%lld
",1ll*cnt*pw[n]%mod),exit(0);
    g[n]=1;
    for(int i=n-1;i>k;i--){
        g[i] = ( 1ll * ( n - i ) * g[i+1] + n ) %mod * iv[i] %mod; 
    }
    f[k]=k;
    for(int i=k+1;i<=cnt;i++){
        f[i] = (f[i - 1] + g[i])%mod;
    }
    printf("%lld
",1ll * f[cnt] * pw[n] %mod);
    return 0;
}//by tkys_Austin;