题目
你需要构造一个排列
初始时(p_i=i)，一次操作定义为：
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选择一些((x_i,y_i))，满足每个数字只能出现一次
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依次交换(p_{x_i},p_{y_i})
定义一个排列 (P) 的最少交换次数为(f(P))
现在 (P) 有 (k) 个位置的排列顺序是未知的，定义某一种确定顺序的方案是(P')
求(sum f(P'))
(1 le n le 10^6 , k le min(12,n))
题解
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首先操作次数不会超过2，考虑每一个轮换
.png)
.png)
-
考虑一个排列(P)，它的贡献是：
1.如果所有轮换的大小<=2 ，最少的步数为0/1，贡献为02.如果存在轮换的大小>2，最少的步数为2，考虑贡献
大小不同的轮换不会互相影响
大小相同的轮换可以两两拼在一起，也可以单独存在
写成dp即$h_{i,j} = h_{i,j-1}i + h_{i,j-2}(j-1)i $
如果大小为(i)的轮换有(m_i)个，总贡献为(prod h_{i,m_i})
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如果确定的点指向不确定的点存在一条链(l)，那么就把不确定的点的大小看做(|l|+1)
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预处理出所有的(h)，这样就可以只考虑不确定的点的排列
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由于贡献只和轮换的大小有关，可以枚举集合划分再把贡献乘以一个圆排列
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时间复杂度(O(n log n + bell(k) k))
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1000010,mod=1e9+7;
int n,k,p[N],q[N],cnt[N],pos[N],a[N],b[N],c[N],bl[N],iv[N],vis[N],T,preans,precnt[N],ans,fac[N],prefg1,prefg2,Bell;
vector<int>h[N];
void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int pw(int x,int y){
int re=1;
for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
if(y&1)re=1ll*re*x%mod;
return re;
}
void pre(){
for(int i=fac[0]=1;i<=n;++i){
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
int lim=n/i;
h[i].pb(1);h[i].pb(i);
for(int j=2;j<=lim;++j){
h[i].pb((h[i][j-1]+1ll*h[i][j-2]*(j-1)%mod)*i%mod);
}
}
}
void calc(int tot){
static int st[N],tp;
++T;tp=0;
for(int i=1;i<=tot;++i)b[i]=0,c[i]=0;
for(int i=1;i<=k;++i)b[bl[i]]++,c[bl[i]]+=a[i];
int re=1,fg1=prefg1,fg2=prefg2;
for(int i=1;i<=tot;++i){
re=1ll*re*fac[b[i]-1]%mod;
cnt[c[i]]++;fg1|=c[i]>1;fg2|=c[i]>2;
if(vis[c[i]]!=T)vis[c[i]]=T,st[++tp]=c[i];
}
if(!fg1)re=1;
if(fg2)re=1ll*re*preans%mod;
for(int i=1;i<=tp;++i){
int x=st[i];
if(fg2)re=1ll*re*iv[x]%mod*h[x][cnt[x]]%mod;
cnt[x]=precnt[x];
}
inc(ans,re);
}
void dfs(int x,int y){
if(x==k+1){calc(y);return;}
for(int i=1;i<=y+1;++i){
bl[x]=i;
dfs(x+1,max(i,y));
}
}
int main(){
freopen("determination.in","r",stdin);
freopen("determination.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&k);k=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&p[i]);
if(p[i])q[p[i]]=i;else pos[++k]=i;
}
for(int i=1;i<=k;++i){
int len=1;vis[pos[i]]=1;
for(int j=q[pos[i]];j;j=q[j])vis[j]=1,len++;
a[i]=len;
}
for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]){
int len=1;vis[i]=1;
for(int j=p[i];j!=i;j=p[j])vis[j]=1,len++;
cnt[len]++;prefg2|=len>2;prefg1|=len>1;
}
pre();
preans=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
precnt[i]=cnt[i];
preans=1ll*preans*h[i][cnt[i]]%mod;
iv[i]=pw(h[i][cnt[i]],mod-2);
vis[i]=0;
}
dfs(1,0);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}