【纪中集训2019.3.29】整除分块

题目

描述

本题的背景是整除分块；

定义一个数列$a_{n,i} = lfloor frac{n}{i} floor $ ;

求$sum_{i=l}^{r} mex(a_n) $ ;

其中(mex)表示序列中最小的没有出现过的自然数；

答案对(998244353)取模；

范围

(1 le T le 65536 , 1 le l ,r le 10^{36}) ；

评测系统支持使用 $ _ _ int218 $ ，但是不能直接读入输出，需要你手写 $ IO $ ；

题解

Part 1
如果你写过整除分块，根据整除分块的写法基础，(i)在(a_n)中不出现的充要条件是：

[egin{align} lfloor frac{n}{lfloor frac{n}{i} floor} floor eq i \ lfloor frac{n}{lfloor frac{n}{i} floor} floor ge i+1 \ frac{n}{lfloor frac{n}{i} floor} ge i +1 \ frac{n}{i+1} ge lfloor frac{n}{i} floor \ \ 令： lfloor frac{n}{i} floor = a \ 结合上面的推导，根据定义有：\ \ a(i+1) le n lt i(a+1) \ 且在 0 le a lt i 时有意义； end{align} ]
意思是我们得到了关于不出现(i)的关于(n)的区间，记这样子的区间为(S(i,a))；
Part 2
观察式子的左右两边，可以得到(S(i+1,a-1))和(S(i,a))可以拼接，推广得在同一副对角线上的区间连续：
即这样的形式：
记以(S(i,0))开头的对角线标号为(i)，按照标号，从小到大考虑每一条跳条对角线；
注意到(|S(i,a)| = i(a+1) - a(i+1) = i - a)；
所以有:第(i)条线不会影响第(1 o i-1)条线已经覆盖的区间的答案；
发现多出来的区间长度依次是:$1 1 2 2 3 3 cdots i i cdots $ ;
容易发现每一次的段都是从后往前看都是一个连续增大的数列(相邻差最大为1)；
对于第(2i)个多出来的区间，从后往前第一小段的长度为2，值为(i)，以后值+1，长度+2，直到总长度为(i)；
对于第(2i-1)个多出来的区间，从后往前第一小段的长度为1，值为(i)，以后值+1，长度+2，直到总长度为(i)；
Part 3
可以通过打表直接到(Part 3)；
分奇数段和偶数段求和，最后再删去剩下的一小段：
对于奇数段：

[egin{align} &= sum_{i=1}^{l}sum_{j=1}^{i} i + sqrt{j-1} = sum_{i=1}^{l} i^2 +sum_{i=1}^{l} sum_{j=1}^{i} sqrt{j-1} \ o &sum_{i=1}^{l} sum_{j=1}^{i} sqrt{j-1}= sum_{j=1}^{l}sqrt{j-1}(l-j+1)\ &=sum_{j=1}^{l}(l-j+1) sum_{k=1}[k^2<j]= sum_{k=1}^{k^2<l}sum_{j=1}^{l-k^2}j\ &直接运用等差数列求和再预处理次方和即可求得答案； end{align} ]

对于偶数段，可以不用求出(k^2+k)的逆，可以在奇数段的推导上直接得出：

[egin{align} &sum_{k=1}^{k^2+k<l}sum_{j=1}^{l-k^2-k}j end{align} ]

//__int128真不是好东西，不仅不能直接读入开根还要炸精度！！！ 
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
#define eps 1e-9
#define ll __int128
#define ld long double
#define il inline 
using namespace std;
ll n,iv2,iv4,iv6,iv30;
il char gc(){
	static char*p1,*p2,s[1000000];
	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
}
il ll rd(){
	ll x=0;char c=gc();
	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
	while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=gc();
	return x;
}
char ps[1000000],*pp=ps;
il void push(char x){
	if(pp==ps+1000000)fwrite(ps,1,1000000,stdout),pp=ps;
	*pp++=x;
}
il void print(ll x){
	static int sta[100],top;
	if(!x){push('0'),push('
');return;}
	while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;
	while(top)push(sta[top--]^'0');
	push('
');
}
il void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);}
il ll pw(ll x,ll y){
	ll re=1;
	while(y){
		if(y&1)re=re*x%mod;
		y>>=1;x=x*x%mod;
	}
	return re;
}
il void inc(ll&x,ll y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
il void dec(ll&x,ll y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
il ll get1(ll n){
	//return floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps);
	ll re=floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps);
	while(re*re>=n)re--;
	return re;
}
il ll get2(ll n){
	//return floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps);
	ll re=floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps);
	while(re*re+re>=n)re--;
	return re;
}
il ll cal1(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*iv2%mod;}
il ll cal2(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*iv6%mod;}
il ll cal3(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*n%mod*(n+1)%mod*iv4%mod;}
il ll cal4(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*(3ll*n*n%mod+3*n%mod+mod-1)%mod*iv30%mod;}
il ll solve1(ll l){
	ll n=get1(l),re=0;
	inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod);
	dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal2(n)%mod);
	inc(re,cal4(n));
	re=(re*iv2%mod+cal2(l)-1)%mod; 
	return re;
}
il ll solve2(ll l){
	ll n=get2(l),re=0;
	inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod);
	dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal1(n)%mod);
	dec(re,2*l*cal2(n)%mod);
	inc(re,2*cal3(n)%mod);
	inc(re,cal4(n)%mod);
	re=((re*iv2%mod+cal2(l))%mod+cal1(l))%mod;
	return re;
}
il ll solve3(ll l,ll n){
	ll m=get1(n),re=(n%mod)*(l%mod)%mod;
	inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod);
	dec(re,cal2(m));
	return re;
}
il ll solve4(ll l,ll n){
	ll m=get2(n),re=(n%mod)*((l%mod)+1)%mod;
	inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod);
	dec(re,cal2(m));
	dec(re,cal1(m));
	return re;
}
il ll solve(ll n){
	ll l=get2(n+1)+1,m=l*(l+1)-1,re=0;
	inc(re,solve1(l));
	inc(re,solve2(l));
	if(m>n)dec(re,solve4(l,min(l,m-n)));
	if(m-l>n)dec(re,solve3(l,min(l,m-n-l)));
	return re;
}
int main(){
	freopen("mex.in","r",stdin);
	freopen("mex.out","w",stdout);
	iv2=pw(2,mod-2);iv4=pw(4,mod-2);
	iv6=pw(6,mod-2);iv30=pw(30,mod-2);
	ll C=rd(),T=rd();
	while(T--){
		ll l=rd(),r=rd();
		ll ans=(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod;
		print(ans);
	}
	flush();
	return 0;
}

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