题目大意
对一棵树的节点染色。初始时每个点都染成颜色 $0$，然后进行 $m$ 轮操作。第 $i$ 轮操作：从 $[0,d_i]$ 中随机选出一个整数 $d$，将距离点 $x_i$ 不超过 $d$ 的点染成颜色 $i$。求最后「同色连通块」的个数的期望。
分析
期望问题的做法一般是
利用期望的线性性将所求的随机变量分解1
问题的难点正在于写出同色的连通块的个数的表达式。
同色连通块的个数 = 两端点颜色不同的边的数目 + 1 2
令 $p^{i}[u][v] (u<v)$ 表示第 $i$ 轮操作后边 $(u,v)$ 两端颜色不同的概率, $ ext{dis}^{i}[u]$ 表示 $x_i$ 与 $u$ 的距离。
则 $$p^{i+1}[u][v] = frac{ ext{dis}^{i+1}[u]}{d_{i+1}+1}p[u][v] + frac{1}{d_{i+1}+1}$$
Implementation
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+5;
double dp[N][N];
vector<int> g[N];
int x, d;
void dfs(int u, int fa, int dis){
if(dis>d) return;
for(auto v: g[u])
if(v!=fa){
int _u=min(u, v), _v=max(u, v);
dp[_u][_v]=(dp[_u][_v]*dis+1)/(d+1);
dfs(v, u, dis+1);
}
}
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i=1; i<n; i++){
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i=0; i<m; i++){
cin >> x >> d;
dfs(x, x, 0);
}
double res=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=i+1; j<=n; j++)
res+=dp[i][j];
// cout << res+1 << '
';
printf("%.10f
", res+1);
return 0;
}