以 $d(x)$ 表示正整数 $x$ 的十进制表示的数位之和。熟知下列关于 $d(x)$ 的结论：
- $d(x) equiv x pmod{9}$。从而对于任意正整数列 $a_1, a_2, dots, a_n$ 有 $sum_{i=1}^{n} d(a_i) equiv d(sum_{i=1}^{n}a_i) pmod{9}$。
- 十进制下，在正整数 $a,b$ 相加的过程中，每发生一次进位数位之和减少 $9$。因而有 $d(a + b) = d(a) + d(b) - 9c(a, b)$。$c(a, b)$ 表示十进制下 $a, b$ 相加发生的进位次数。
- 正整数 $x$ 可表为 $sum_{i =1 }{n}10{e_i}$ 且 $n$ 可以取到等差数列 $x, x - 9, x -18, dots, d(x)$ 中的每一个值。证明：考虑下述过程：从 $x$ 个 1 开始，此时 $n = x$。若 $xge 10$ 则可以把 $10$ 个 1 变成 $1$ 个 10，使 $n$ 变为 $x - 9$；不断如此操作直到剩下不足 $10$ 个 1。继续对剩下的 10 进行类似的操作。如此反复操作，直到无法操作。
十进制下 $k$ 个连续的 1 可表为 $frac{10^{k} - 1}{9}$。
题目所问相当于 $argmin_{n} v = sum_{i=1}^{n} frac{10^{e_i} - 1}{9}$（$e_i ge 1$） 即 $argmin_{n} 9v+n = sum_{i=1}^{n} 10^{e_i}$。根据上述结论 1 和 3，$n$ 只要满足
- $d(9v+n) equiv n pmod{9}$
- $n ge d(9v+n)$
即可。
因此可以枚举 $n$。下面给出答案的上界。令 $t = 9v$，注意到 $d(t) equiv 0pmod{9}$，反复进行下列操作直到 $t$ 变成零：$t o t+ 1$，$t o t - 10^{h}$，$h$ 表示 $t$ 的十进制表示的最高位，例如，若 $t = 234$ 则 $h = 2$。注意到每次操作过后 $d(t)mod 9$ 不变。因此，每次操作之前必有 $tge 10$，因而有 $hge 1$。 在 $t o t+1$ 这一步，$d(t)$ 至多增加 $1$，而 $t o t-10^h$ 这一步，$d(t)$ 恰好减少 $1$。另外，每 $10$ 次操作之中，必有一次 $t o t+1$ 使个位发生进位，在这个操作后 $d(t)$ 至少减少 $10$。因此每 $10$ 次操作过后 $d(t)$ 至少减少 $10$，因此答案不超过 $d(9v) + 10$。
注：
- 本文参考了源曲明的题解。
- $d(9v + n) equiv n pmod{9}$ 即 $d(n) equiv n pmod{9}$。
官方题解：
这个思路比我上面的思路要好得多。下面对官方题解作几个注解：
- 由于 $x > 0$ 且 $9v + x$ 是 $10$ 的倍数，因此可以不用管 $9v$ 的个位，直接往 $9v$ 的十位不断加一。