『最大M子段和线性DP』

<更新提示>

<第一次更新>

<正文>

最大M子段和(51nod 1052)

Description

N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，将这N个数划分为互不相交的M个子段，并且这M个子段的和是最大的。如果M >= N个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。
例如：-2 11 -4 13 -5 6 -2，分为2段，11 -4 13一段，6一段，和为26。

Input Format

第1行：2个数N和M，中间用空格分隔。N为整数的个数，M为划分为多少段。（2 <= N , M <= 5000)
第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output Format

输出这个最大和

Sample Input

Sample Output

解析

还是序列最优值问题，很明显是线性DP。不过这一次的状态设置比较裸。

(f[i][j])表示把序列的前(j)个元素分为(i)段的最大和，其中必须包括第(j)个元素。

那么这就成了一道如何优化DP转移的问题。最暴力的思路当然是考虑两种情况：
1.第j个元素和之前的若干元素分入同一个段。
2.第j个元素分入新的一个段。
那么状态转移方程就是：

[f[i][j]=max(f[i][j-1]+a[j],max{f[i-1][k]}+a[j])(k<j) ]

这是一个经典的决策集合优化DP模型。
注意到，当外层循环(i)不变时，随着(j)的增加，(k)的取值范围也只在原来的基础上增加，那么我们就可以使用决策集合优化，这里选择最简单的一种讲解。
由于第2中情况需要调用到(max{f[i-1][k]}(k<j))，那么我们就设(Maxf[i][j])代表(f)数组中第一维为(i)时，第二维前(j)个值的最大值。
此时，很容易发现我们可以在更新(f)时顺带更新(Maxf)，以便下一次更新(f)时调用，这样就优化了一重循环，这就是决策集合优化。

最后一个问题，爆int，开longlong解决，爆空间，滚动数组解决。
滚动数组不再详细讲解。

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(long long &k)
{
	long long w=0,x=0;char ch;
	while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	k=(w?-x:x);return;
}
const int N=5000+80,M=5000+80;
long long n,m,a[N],f[2][N]={},Maxf[2][N]={},ans=0;
inline void input(void)
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]); 
}
inline void dp(void)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			f[i&1][j]=max(f[i&1][j-1]+a[j],Maxf[i-1&1][j-1]+a[j]);
			Maxf[i&1][j]=max(Maxf[i&1][j-1],f[i&1][j]);
		}
	}
}
int main(void)
{
	input();
	dp();
	printf("%lld
",Maxf[m&1][n]);
	return 0;
}

考点：决策集合优化。

<后记>