将第$i$个字符在$A->C->B->A$这个环上操作$i$次,而此时的操作也即将$AAA,BBB$或$CCC$变为其中的另一个字符串
通过操作$XXXY->YYYY->YXXX$,即可以将$XXX$向右移动一位,同时其还可以变为任意字符,那么不妨将其删除并在最后(任意位置)插入一个形如$XXX$的字符串
具体的,令$f(S)$表示不断在$S$中删除形如$XXX$的字符串(直至不存在),则$f(S)$是良定义的
这里的良定义,即删除顺序不会影响$f(S)$($f(S)$是可确定的)
按$|S|$进行归纳,并对当前$S$分类讨论:
1.若$S$中不存在形如$XXX$的字符串,那么即可结束,显然有$f(S)=S$
2.若$S$中仅存在1个形如$XXX$的字符串,那么只能将其删除,则$f(S)=f(S')$
3.若$S$中存在不少于1个形如$XXX$的字符串,任取其中两个并记将两者删除后的字符串为$S_{1}$和$S_{2}$,那么证明$f(S_{1})=f(S_{2})$即可,下面对两者分类讨论:
(1)两者无公共部分,那么定义$S_{0}$为将两者均删除后的字符串,由归纳假设$f(S_{1})=f(S_{2})=f(S_{0})$,即得证
(2)两者有公共部分,那么不难发现最后剩下的均相同,也即有$S_{1}=S_{2}$,显然成立
进一步的,$S$能变为$T$当且仅当$f(S)=f(T)$
必要性:注意到$S$操作后(注意不是删除)$f(S)$不变(均先删除操作的部分即可)
充分性:先从$S$得到$f(S)$,再按$T$得到$f(T)$的逆序插入$XXX$也即可得到$T$(次数显然相同)
关于如何对于$S$求出$f(S)$,维护一个栈即可实现
时间复杂度为$o(n)$,可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 500005 4 int n,ns,nt,a[N],b[N]; 5 char s[N],t[N]; 6 int main(){ 7 scanf("%d%s%s",&n,s+1,t+1); 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 int x=(s[i]-'A'+n-i)%3; 10 if ((ns>1)&&(a[ns]==x)&&(a[ns-1]==x))ns-=2; 11 else a[++ns]=x; 12 } 13 for(int i=1;i<=n;i++){ 14 int x=(t[i]-'A'+n-i)%3; 15 if ((nt>1)&&(b[nt]==x)&&(b[nt-1]==x))nt-=2; 16 else b[++nt]=x; 17 } 18 if (ns!=nt){ 19 printf("NO "); 20 return 0; 21 } 22 for(int i=1;i<=ns;i++) 23 if (a[i]!=b[i]){ 24 printf("NO "); 25 return 0; 26 } 27 printf("YES "); 28 return 0; 29 }