对于一个排列$p_{i}$,假设循环长度依次为$x_{1},x_{2},...,x_{m}$,那么所需步数即${ m lcm}_{i=1}^{m}x_{i}$
由于是乘积,因此可以枚举素数$p$,并统计其的次数(注意这是对$varphi(M)=M-1$取模)
类似于$E(X)=sum_{ige 1}P(Xge i)$,定义$f(k)$表示满足$exists kmid x_{i}$的排列数,次数即$sum_{alphage 1}f(p^{alpha})$
关于$f(k)$,考虑总排列数为$n!$,并去掉$forall 1le ile m,k otmid x_{i}$的排列数即为所求
令$dp_{i}$表示$n=i$且要求$forall 1le jle m,k otmid x_{j}$时的方案数,同样考虑总排列数为$i!$,并去掉$exists kmid x_{j}$的排列数即为所求,后者去枚举$sum_{kmid x_{j}}x_{j}$,显然剩下的部分即为$dp_{i-sum_{kmid x_{j}}x_{j}}$
由此,转移即
$$
dp_{i}=i!-sum_{1le jle lfloorfrac{i}{k}
floor}{ichoose jk}g_{j}dp_{i-jk}
$$
其中$g_{i}$表示$n=ik$且要求$forall 1le jle m,kmid x_{j}$时的方案数,枚举$n$所在循环长度,转移即
$$
g_{i}=sum_{1le jle i}{ik-1choose jk-1}(jk-1)!g_{i-j}
$$
显然计算$g_{i}$的复杂度为$o(frac{n^{2}}{k^{2}})$,同时由于只需要求$dp_{n}$,根据转移只关心于$iequiv n(mod k)$的$dp_{i}$,因此求$dp_{i}$的复杂度同样为$o(frac{n^{2}}{k^{2}})$,也即求$f(k)$的复杂度为$o(frac{n^{2}}{k^{2}})$
而$k$显然$in [1,n]$且不重复,因此复杂度为$o(sum_{i=1}^{n}frac{n^{2}}{i^{2}})$,提出$n^{2}$后该式收敛于$frac{pi^{2}}{6}$
综上,总复杂度即为$o(n^{2})$,可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 7505 4 #define ll long long 5 int n,mod,ans,p[N],vis[N],fac[N],C[N][N],g[N],f[N]; 6 int qpow(int n,int m){ 7 int s=n,ans=1; 8 while (m){ 9 if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod; 10 s=(ll)s*s%mod; 11 m>>=1; 12 } 13 return ans; 14 } 15 int calc(int k){ 16 memset(g,0,sizeof(g)); 17 memset(f,0,sizeof(f)); 18 g[0]=f[0]=1; 19 for(int i=1;i<=n/k;i++) 20 for(int j=1;j<=i;j++)g[i]=(g[i]+(ll)C[i*k-1][j*k-1]*fac[j*k-1]%(mod-1)*g[i-j])%(mod-1); 21 for(int i=0;i<=n;i++) 22 if (i%k==n%k){ 23 f[i]=fac[i]; 24 for(int j=1;j<=i/k;j++)f[i]=(f[i]-(ll)C[i][j*k]*g[j]%(mod-1)*f[i-j*k]%(mod-1)+mod-1)%(mod-1); 25 } 26 return (fac[n]-f[n]+mod-1)%(mod-1); 27 } 28 int main(){ 29 for(int i=2;i<N;i++){ 30 if (!vis[i])p[++p[0]]=i; 31 for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N);j++){ 32 vis[i*p[j]]=1; 33 if (i%p[j]==0)break; 34 } 35 } 36 scanf("%d%d",&n,&mod); 37 fac[0]=1; 38 for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(ll)i*fac[i-1]%(mod-1); 39 for(int i=0;i<N;i++){ 40 C[i][0]=C[i][i]=1; 41 for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%(mod-1); 42 } 43 ans=1; 44 for(int i=1;i<=p[0];i++) 45 for(int j=p[i];j<=n;j*=p[i])ans=(ll)ans*qpow(p[i],calc(j))%mod; 46 printf("%d ",ans); 47 return 0; 48 }