HDOJ--4869--Turn the pokers【组合数学+快速幂】
题意：有m张扑克，开始时全部正面朝下，你可以翻n次牌，每次可以翻xi张，翻拍规则就是正面朝下变背面朝下，反之亦然，问经过n次翻牌后牌的朝向有多少种情况。我们可以把正面朝上理解为1，反面朝上理解为0，那么可以理解为求01串的不同的组合方式有几种。
解题思路：我们可以知道，每张牌假设起始状态都为0，如果翻奇数次，该牌最后的情况是1，如果翻偶数次，该牌的最后情况为0.根据n次翻牌的个数找出1的个数的下限和上限，然后再在这个范围里用组合数学求有几种排列即可。
我们先来看怎么求1的个数的上限和下限：
Minm：下限 maxm：上限 p：当前的下限 q：当前的上限
1.求1的个数的下限：
当前下限大于等于现在翻牌的数量，这个比较好理解，全翻1,1变成0，则剩下的1就是minm-x；
当前下限小于翻牌数量，上限大于等于翻牌数量，即翻牌数量刚好在上下限之间，所以最少可以把正面朝上的数量减为零，但不一定能减到0，因为有可能当前正面朝上的牌时奇数，而翻牌数量是偶数，所以要判断奇偶性是否一样，为什么要和minm比较奇偶性。如果奇偶性相同，可以减为0，
否则，应该为1。
翻牌数量比上限还大的时候，直接减去上限就是下限。
2.求1的个数的上限：
上限+翻牌数量没有达到总牌数时，上限+翻牌数量就是新的上限，全翻0，这样使1最多；
上限+翻牌数量大于总牌数，而下限+翻牌数量小于等于总牌数，前者可以说是翻牌溢出了，已经全是1再翻的话只会让一些1变成0，后者没有达到全变成1的情况。它们是一个上限一个下限，这说明可以处理到在这之间的情况，那么最好的结果是所有牌都正面朝上，全是1，需要判断奇偶性是否一致，这回和m比较。
上限+翻牌数、下限+翻牌数全都大于总牌数时，说明都会溢出，那就用2 * m - (x + minm)来表示上限，因为(x+minm)小，所以溢出的1变成0的牌数少。
接下来要处理的是计算出 c ( m , i ) 的值：
由于数比较大，要对1000000009取余，这里要用到快速幂取余：
模板如下：
- long long PowerMod (int a, int b, int c)
- {
- int ans = 1;
- a = a % c;
- while(b>0) {
- if(b % 2 = = 1)
- ans = (ans * a) % c;
- b = b/2; // b>>=1;
- a = (a * a) % c;
- }
- return ans;
- }
关于快速幂取余，可以查看链接：http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/38270829
用数组c表示组合数学 c ( m , i ) 的值, 按理说 c[ i ] = c[ i - 1 ] * ( m - i + 1 ) / i ，然后这个数对MOD取模，但是存在除法取模就不是这么简单的分解了，费马小定理是这样： a^(p-1) ≡1（mod p），p为质数，a、p互质，a^(p-1) mod p 恒等于1。
变换一下，两边同时除以a ，变成 a^(p-2)=a^(-1)(mod p)，所以要除以a 就可以表示成 乘 a^(p-2)，所以有了这样的写法：c[i] = c[i-1] * (m-i+1) % MOD * PowerMod(i,MOD-2) % MOD;
最后将组合数学值相加的时候，要隔一个相加，不难发现上限和下限的奇偶性一样。
总和一下上述思想，我们可以写出代码：
1 #include<stdio.h> 2 #define MOD 1000000009 3 __int64 c[100100]; 4 __int64 mode(__int64 a,int n) 5 { 6 __int64 t = a; 7 __int64 ans = 1; 8 while(n) 9 { 10 if(n & 1) 11 { 12 ans = ans * t % MOD; 13 } 14 n >>= 1; 15 t = t * t % MOD; 16 } 17 return ans; 18 } 19 int main() 20 { 21 int minm,maxm,x; 22 int p,q; 23 int n,m; 24 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 25 { 26 //初始状态下1的上限和下限都为0； 27 minm = maxm = 0;//maxm表示上限，minm表示下限 28 p = q = 0;//p、q分别记录当前下，上限，然后更新到minm、maxm中 29 for(int i=0; i<n; i++) 30 { 31 scanf("%d",&x);//第i次翻牌的数量 32 //判断下限 33 if(minm>=x)//当前下限大于等于现在翻牌的数量 34 p = minm - x;//全翻1,1变成0，则剩下的1就是minm-x 35 36 else if(maxm>=x)//当前下限小于翻牌数量，上限大于等于翻牌数量， 37 p = ((x&1)==(minm&1))?0:1; //x与minm同奇偶就为0 ，否则为1 38 39 else//翻牌数量比上限还大的时候，直接减去上限就是下限 40 p = x - maxm; 41 42 //判断上限 43 if(maxm+x<=m)//上限+翻牌数量没有达到总牌数时,上限+翻牌数量就是新的上限 44 q = maxm + x; 45 46 else if(minm+x<=m) //上限+翻牌数量大于总牌数,而下限+翻牌数量小于等于总牌数 47 q = (((minm+x)&1)==(m&1))?m:m-1;//x与minm同奇偶就为0,否则为1 48 49 else//上限+翻牌数、下限+翻牌数全都大于总牌数 50 q = 2 * m - (x + minm); 51 52 minm = p; 53 maxm = q; 54 } 55 __int64 sum=0; 56 c[0]=1; 57 for(int i=1; i<=maxm; i++)//求C(m,i); 58 { 59 if(m-i<i) 60 c[i] = c[m-i]; 61 else 62 { 63 c[i] = c[i-1]*(m-i+1)%MOD*mode((__int64)i,MOD-2)%MOD; 64 } 65 } 66 for(int i=minm; i<=maxm; i+=2) 67 { 68 sum+=c[i]; 69 sum%=MOD; 70 } 71 printf("%I64d ",sum); 72 } 73 return 0; 74 }