LCS小结（O(∩_∩)O~吽吽）

LCS！~如果你在百度上搜这个的话会出来”英雄联盟冠军联赛”，orz。。但是今天要讲的LCS是最长公共子序列 ,"Longest Common Subsequence "not"League of Legends Championship Series "小盆友们又要涨姿势了~

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，打个比方说，A君有一个字符串：qazwbx,B君也有一个字符串：azwsxq,那么我们可以说a君和B君的最长公共子序列为：azwx,长度为4，这样看来好像挺简单的，但是如果字符串很长或者比较的字符串个数很多，要求出公共的而且是最长的就能比较困难了，为了方便小盆友们方便的求得最长公共子序列，我们引入高大上的DP君！

这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

先来实现第一步吧：

设一个C[i][j]: 保存X_i与Y_j的LCS的长度。

设X = { x1~xm },Y = { y1~yn }及它们的最长子序列Z = { z1~zk }则：

1、若 xm = yn ，则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列

2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列

3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

子问题的递归结构：

当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0

当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

下面的代码是求两个字符串的最长公共子串：

 1 int LCS(int n,int m)//n,m分别为两个字符串的长度
 2 {
 3     int i,j;
 4     int len=max(n,m);
 5     for(i=0;i<=len;i++)
 6     {
 7         dp[i][0]=0;
 8         dp[0][i]=0;
 9     }
10     for(i=1;i<=n;i++)
11     {
12         for(j=1;j<=m;j++)
13         {
14             if(a[i-1]==b[j-1])
15             {
16                 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
17             }
18             else
19             {
20                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
21             }
22         }
23     }
24     return dp[n][m];
25 }

第二步：通过回溯求出最长公共子序列

如图：

下面给出逆序输出最长公共子串的代码：

 1 int i=n-1,j=m-1,count=k;
 2         while(count!=0)
 3         {
 4             if(a[i]==b[j])
 5             {
 6                 cout<<a[i];
 7                 i--;
 8                 j--;
 9                 count--;
10             }
11             else if(dp[i][j-1]>dp[i-1][j])
12             {
13                 j--;
14             }
15             else
16             {
17                 i--;
18             }
19         }cout<<endl;

从最后开始，碰到一样的输出，不一样的，往更大的方向跑。其实就是前面生成dp的逆过程。

LCS粗略的讲完了，还有很多不足，希望大家多多补充~

————Anonymous.PJQ