BZOJ 3576: [Hnoi2014]江南乐 (SG函数)

题意

有$n$堆石子,给定$F$,每次操作可以把一堆石子数不小于$F$的石子平均分配成若干堆(堆数$>1$).
平均分配即指分出来的石子数中最大值减最小值不超过$1$.不能进行操作就算输.询问先手是否有必胜策略.

分析

因为每一推石子实际上是独立的.于是就可以求出每一堆石子的$SG$函数后再异或起来.

于是看看怎么求$SG(N)$.方法是枚举分成的堆数$i$.因为最大$-$最小$<=1$,那么只可能有两种取值.设:

• 分出来的较小值为$r$, 较大值就是$r+1$
  分出来的较大值的堆数为$k$, 较小值的堆数就是$i-k$

那么有 $r=N/i$, $k=N\%i$. 那么只要把$SG(r)$异或$(i-k)$次,把$SG(r+1)$异或$k$次.就能得到一个后继状态的$SG值$.所以把所有的算出来的值取$mex$就得到了$SG(N)$.这里$mex$指没有出现过的最小非负整数值.因为异或偶数次相当于没有异或,所以判断一下$k$或者$(i-k)$是否为奇数然后异或一次就行了.

但是这样的时间复杂度是$O(N^2)$的,所以我们需要优化.

优化方法类似于莫比乌斯反演中所用到的整除分块.我们对于$r$值相等的$i$一起处理.假设我们在处理一个区间$[i,j]$,满足$r_i=r_{i+1}=...=r_j=r$.那么从$k_i$到$k_j$一定是每一次减少$r$,因为相当于在$k$个较大值中选出$r$个,每一个取走$1$,组成一堆新的石子.
这个时候我们可以发现$k_i$的奇偶性一定与$k_{i+2}$相同,且$(i-k_i)$的奇偶性也与$(i+2-k_{i+2})$相同,所以说分成$i$堆和分成$i+2$推石子得到的$SG$值是一样的.那么$[i+2,j]$的值都对$mex$没有贡献,所以我们只需要算$i$和$i+1$的值就行了.那么时间复杂度就被降到了$O(nsqrt n)$.

CODE

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
namespace READ {
	inline void read(int &num) {
		char ch; while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
		for(num=0;ch>='0'&&ch<='9';num=num*10+ch-'0',ch=getchar());
	}
}
using namespace READ;
const int MAXN = 100005;
int T, F, SG[MAXN], vis[MAXN];
inline int sg(int N) { //记忆化搜索,预处理是卡着时限过的,而记忆化搜索会快很多
	if(~SG[N]) return SG[N];
	if(N < F) return SG[N]=0;
	int now, r, k;
	for(int i = 2, j; i <= N; i = j+1) { //先把要用到的sg求出来,否则vis数组可能会被重复标号出错
		j = N/(N/i);                     //(但貌似这道题不会WA)
		r = N/i, k = N%i;
		if(k&1) sg(r+1);
		if((i-k)&1) sg(r);
		if(j > i) {
			r = N/(i+1), k = N%(i+1);
			if(k&1) sg(r+1);
			if(((i+1)-k)&1) sg(r);
		}
	}
	for(int i = 2, j; i <= N; i = j+1) {
        j = N/(N/i);
        r = N/i, k = N%i;
        now = 0;
        if(k&1) now ^= SG[r+1];
        if((i-k)&1) now ^= SG[r];
        vis[now] = N;
        if(j > i) { //可能区间长度只有1
            r = N/(i+1), k = N%(i+1);
            now = 0;
            if(k&1) now ^= SG[r+1];
            if(((i+1)-k)&1) now ^= SG[r];
            vis[now] = N;
        }
    }
	int mex = 0;
	for(; vis[mex] == N; ++mex);
	return SG[N]=mex;
}
int main () {
	memset(SG, -1, sizeof SG);
	read(T), read(F);
	while(T--) {
		int ans = 0, x, n; read(n); 
		while(n--)
			read(x), ans ^= sg(x);
		putchar(ans ? '1' : '0');
		if(T) putchar(' '); //注意格式
	}
}