数论基本定理

(1).唯一分解定理

一句话：　　　
任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积
例如对于大于1的自然数n，
N = $p 1^{r 1}$ * $p 2^{r 2}$ * $p 3^{r 3}$ * * * * * * $p n^{r n}$ ( ps: p1,p2,p2都是质数 )
代码实现：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

//利用唯一分解定理拿下所有的质因子 

const int maxn = 1e5+5;

int v[maxn];

int main(){
    int pos = 0;
    int t; cin>>t;
    for (int i = 2;i*i <= t;){
        bool flag = false;
        while ( t % i == 0 ) {
            if(!flag){
                flag = true;
                v[pos++] = i;
            } t /= i;
        }
        if(i == 2) i++;
        else i+= 2;//时间小优化 
    }
    if ( t != 1 ) v[pos++] = t;//判断最后一位是不是1,还是质数

    return 0;
}

用途：
( 1 ) ,
求一个数有几个因子
N = $p 1^{r 1}$ * $p 2^{r 2}$ * $p 3^{r 3}$ * * * * * * $p n^{r n}$

s u m = (r 1 + 1) (r 2 + 1) (r 3 + 1) * * * * * (r n + 1);

( 2 ) ,求一个数所有的因子和
N = $p 1^{r 1}$ * $p 2^{r 2}$ * $p 3^{r 3}$ * * * * * * $p n^{r n}$

a n s = p 1 r 1 + 1 - 1 p 1 - 1 * p 2 r 2 + 1 - 1 p 2 - 1 * p 3 r 3 + 1 - 1 p 3 - 1 * * * * * * p n r n + 1 - 1 p n - 1

( 3 ) ,转换GCD和LCM
N = $p 1^{r 1}$ * $p 2^{r 2}$ * $p 3^{r 3}$ * * * * * * $p n^{r n}$
M = $p 1^{l 1}$ * $p 2^{l 2}$ * $p 3^{l 3}$ * * * * * * $p n^{l n}$

G C D = p 1 m i n (r, l 1) * p 2 m i n (l 2, r 2) * p 3 m i n (l 3, r 3) * * * * * * p n m i n (l n, r n)

L C M = p 1 m a x (r, l 1) * p 2 m a x (l 2, r 2) * p 3 m a x (l 3, r 3) * * * * * * p n m a x (l n, r n)

( 2 ) , 容斥定理

看下列Vann图：
这里写图片描述
表示成为公式如下：

| \cup n i = 1 * A i | = \sum C \subseteq B * (- 1) s i z e (c) - 1 | \cap e \in C e |

用法：
如果要对n个物体进行选择，那么有多少种情况
我们可以考虑进行二进制枚举：
实现代码如下：
ad : 小练习

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1e5+5;

int v[maxn];

int main(){
    int t,n;
    while(scanf("%d",&t) && t)
    {
        int ss = 1; n = t;
        for (int i = 2;i * i <= t;){
            bool flag = false;
            while(t%i == 0){
                if(!flag){
                    flag = true;
                    v[ss++] = i;
                }t /= i;
            }
            if ( i == 2 ) i++;
            else i += 2;
        }
        ll sum = 0;
        if (t != 1) v[ss++] = t; ss -= 1;
        for (int i = 1;i < (1 << ss);i++){ // 这里以二进制的形式进行枚举
            ll cnt = 0,tmp = 1;
            for (int j = 1; j <= ss ;j++){
                if ( i >> (j-1) & 1 )  {
                    cnt++;
                    tmp = tmp * v[j];
                } 
            }
            if(cnt & 1) sum += n  / tmp;
            else sum -= n / tmp;
        }
        printf("%d
",n - sum);
    }
    return 0;
}
/* 题目要求1..n-1中与n互质的数的个数 */