【矩阵专题】[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

题目大意：

　　潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。
　　为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。
　　豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。
　　借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。
　　现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

输入数据：

输入文件共M + 2 + NFish行。
　　第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。
　　第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。
　　第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。
　　第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接　　下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。
　　如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……；
　　如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……；
　　如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。
　　豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

样例输入：          
6 8 1 5 3　　　　　　　　　
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

样例输出：
2

---

题目思路：
　　对于一道求路线总数的图论题，可以考虑用邻接矩阵的特殊性质：
　　一个图的邻接矩阵的k次方，其中点（i，j）表示从i经过k次移动到达j的路线总数。
　　此时又观察到周期为2,3,4，lcm=12，故可以模拟出12个时间下食人鱼的游动位置，再处理出这12个时间可走的矩阵（换句话说就是删去食人鱼在的那一纵列），又因为矩阵乘法不具有交换律，故应当按照1~11-
>0的顺序将时间状态下的矩阵相乘，最后要得到时间K的路程，故用K%12得到重复次数，用快速幂解决，再将多余的额外处理，就可以得到最终答案了。
　　上程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=60;
const int Nf=30;
const int mod=10000;
int n,m,start,end,k,f;
int fish[Nf][N],G[N][N];
struct matrix{
    int a[N][N];
    void Empty(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void One(){
        Empty();
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
    }
    matrix operator*(matrix b){
        matrix tmp;
        tmp.Empty();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                for(int q=1;q<=n;q++){
                    (tmp.a[i][j]+=a[i][q]*b.a[q][j]%mod)%=mod;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
    void print(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                cout<<a[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}Q,A[Nf];
matrix qpow(matrix res,int p){
    matrix ans;
    ans.One();
    while(p){
        if(p&1){
            ans=ans*res;
        }
        res=res*res;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>start>>end>>k;
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x++,y++;
        G[x][y]=G[y][x]=1;
    }
    cin>>f;
    int t,pos;
    for(int i=1;i<=f;i++){
        cin>>t;
        for(int j=0;j<t;j++){
            cin>>pos;
            for(int pos2=j;pos2<12;pos2+=t){
                fish[pos2][pos+1]=1;
            }
        }
    }
    //(连乘)(1,2,3,...0)Qi
    Q.One();
    for(int t=0;t<12;t++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                A[t].a[i][j]=(G[i][j]&&!fish[t][j]);
            }
        }
    }//确定一个A使得在时间为t时这个地图的j点无鱼且可走 
    for(int i=1;i<12;i++){
        Q=Q*A[i];
    } 
    Q=Q*A[0];
    int K=k/12;
    t=k-K*12;
    Q=qpow(Q,K);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        Q=Q*A[i];
    }
    cout<<Q.a[start+1][end+1]<<endl;
    
    return 0;
}

总结：矩阵乘法，图论。