《用 Python 学微积分》原文见参考资料 1。
1、多项式
f(x)=x3-5x2+9
def f(x): return x**3 - 5*x**2 + 9 print f(3) print f(1) import numpy as np x = np.linspace(-5, 5, num = 100) y = f(x) import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x,y) plt.show()
2、指数函数
exp(x)=ex
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def exp(x): return np.e**x print exp(2) print np.exp(2) x = np.linspace(-5, 5, num = 100) y = exp(x) plt.plot(x,y) plt.show()
3、对数函数
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0.1,10,99,endpoint = False) y1 = np.log2(x) y2 = np.log(x) y3 = np.log10(x) plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'yellow',x,y3,'blue') plt.show()
4、三角函数
sin(x)
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi),np.sin(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi))) plt.show()
5、函数的复合
h(x)=x2+1
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return x+1 def g(x): return x**2 def h(x): return f(g(x)) x = np.array(range(-10,10)) y = np.array([h(i) for i in x]) plt.plot(x, y, 'bo') # h2 = lambda x: f(g(x)) # plt.plot(x,h2(x),'rs') plt.show()
6、逆函数
w=x2
winv(x)=x1/2
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt w = lambda x: x**2 winv = lambda x: np.sqrt(x) x = np.linspace(0,2,100) plt.plot(x, w(x),'b',x,winv(x),'r',x,x,'g-.') plt.show()
7、高阶函数
x2 和 (x-2)2
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def g(x): return x**2 def horizontal_shift(f,H): return lambda x: f(x-H) x = np.linspace(-10,10,100) shifted_g = horizontal_shift(g,2) plt.plot(x,g(x),'b',x,shifted_g(x),'r') plt.show()
8、欧拉公式
指数函数的多项式：
$$e^x =1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}frac{x^k}{k!}$$
三角函数：
$$sin(x) = frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}{(-1)}^kfrac{x^{(2k+1)}}{(2k+1)!}$$
$$cos(x) = frac{x^0}{0!}-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}{(-1)}^kfrac{x^{2k}}{(2k)!}$$
虚函数的基本运算规则：
$$i^0=1,quad i^1=i,quad i^2=-1,quad i^3=-i$$
$$i^4=1,quad i^5=i,quad i^6=-1,quad i^7=-i$$
将 ix 代入指数函数的公式中：
$$e^{ix}=frac{(ix)^0}{0!}+frac{(ix)^1}{1!}+frac{(ix)^2}{2!}+frac{(ix)^3}{3!}+frac{(ix)^4}{4!}+frac{(ix)^5}{5!}+frac{(ix)^6}{6!}+frac{(ix)^7}{7!}+dots$$
$$qquad =frac{i^0x^0}{0!}+frac{i^1x^1}{1!}+frac{i^2x^2}{2!}+frac{i^3x^3}{3!}+frac{i^4x^4}{4!}+frac{i^5x^5}{5!}+frac{i^6x^6}{6!}+frac{i^7x^7}{7!}+dots$$
$$qquad = 1frac{x^0}{0!}+ifrac{x^1}{1!}-1frac{x^2}{2!}-ifrac{x^3}{3!}+1frac{x^4}{4!}+ifrac{x^5}{5!}-1frac{x^6}{6!}-ifrac{x^7}{7!}+dots$$
$$qquad = (frac{x^0}{0!}-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots)+i(frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots)$$
$$qquad = cos(x)+isin(x)$$
此时便得欧拉公式：
$$e^{ix} = cos(x)+isin(x)$$
令 x=π，得：
$$e^{ipi}+1=0$$
import numpy as np import sympy import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-np.pi,np.pi) lhs = np.e**(1j*x) rhs = np.cos(x)+1j*np.sin(x) print sum(lhs==rhs)==len(x) z = sympy.Symbol('z', real = True) sympy.expand(sympy.E**(sympy.I*z), complex = True) for p in np.e**(1j*x): plt.polar([0, np.angle(p)],[0, abs(p)], marker = 'o') plt.show()
9、泰勒级数
函数 f(x) 在 x=0 处展开的泰勒级数的定义为：
$$f(x)=f(0)+frac{f'(0)}{1!}x+frac{f''(0)}{2!}x^2+frac{f'''(0)}{3!}x^3+dots=sum_{k=0}^{infty}frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$
ex，sin(x) 和 cos(x) 的多项式形式，都是它们自己在 x=0 处展开的泰勒级数。其中 ex 在 x=0 的展开为：
$$exp(x)=exp(0)+frac{exp'(0)}{1!}x+frac{exp''(0)}{2!}x^2+frac{exp'''(0)}{3!}x^3+dots$$
$$qquad =1 + frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+dots$$
$$qquad =sum_{k=0}^{infty}frac{x^k}{k!}$$
泰勒级数可以把非常复杂的函数转变成无限项的和的形式。通常，我们可以只计算泰勒级数的前几项之和，便能够获得原函数的局部近似了。在做这样的多项式近似时，我们所计算的项越多，则近似的结果越精确。
下图是 e 在 x=0 处展开的泰勒级数分别取前 5、10 和 15 项时的值跟真实值的对比，可以看出，所计算的项越多，则近似的结果越精确。
import numpy as np import sympy import matplotlib.pyplot as plt x = sympy.Symbol('x') exp = np.e**x def polyApprox(func,num_terms): # 当我们需要反复做类似的步骤的时候，最好将步骤定义为一个函数 sums = 0 for i in range(num_terms): numerator = func.diff(x,i) numerator = numerator.evalf(subs={x:0}) denominator = np.math.factorial(i) sums += numerator/denominator*x**i return sums sum5 = polyApprox(exp,5) sum10 = polyApprox(exp,10) sum15 = exp.series(x,0,15).removeO() xvals = np.linspace(5,10,100) for xval in xvals: plt.plot(xval,exp.evalf(subs={x:xval}),'bo', xval,sum5.evalf(subs={x:xval}),'ro', xval,sum10.evalf(subs={x:xval}),'go', xval,sum15.evalf(subs={x:xval}),'yo') plt.show()
10、极限
定义：若要称函数 f(x) 在 x=a 处的极限为 L，即：
$$lim_{x ightarrow a}f(x)=L$$
则需要：对任意一个 ε>0，都能找到 δ>0，使得当 x 的取值满足 0<|x-a|<δ 时，|f(x)-L|<ε。
import numpy as np import sympy import matplotlib.pyplot as plt f = lambda x: x**2-2*x-6 x = np.linspace(0,5,100) y = f(x) plt.plot(x,y,'red') plt.grid('off') l = plt.axhline(-8,0,1,linewidth = 2, color = 'black') l = plt.axvline(0,0,1,linewidth = 2, color = 'black') l = plt.axhline(y=2,xmin=0,xmax=0.8,linestyle="--") l = plt.axvline(x=4,ymin=0,ymax=float(5)/9, linestyle = "--") l = plt.axhline(-6,3.7/5,4.3/5,linewidth = 2, color = 'black') l = plt.axvline(1,6.0/18,14.0/18,linewidth = 2, color = 'black') p = plt.axhspan(-2,6,0,(1+np.sqrt(13))/5,alpha = 0.15, ec = 'none') p = plt.axvspan((1+np.sqrt(5)),(1+np.sqrt(13)),0,1.0/3,alpha = 0.15, ec = 'none') p = plt.axhspan(f(3.7),f(4.3),0,4.3/5,alpha = 0.3, ec = 'none') p = plt.axvspan(3.7,4.3,0,(f(3.7)+8)/18,alpha = 0.3, ec = 'none') plt.axis([0,5,-8,10]) plt.text(0.8,-1,r"$epsilon$", fontsize = 18) plt.text(0.8,4,r"$epsilon$", fontsize = 18) plt.text(3.75,-7.0,r"$delta$", fontsize = 18) plt.text(4.1,-7.0,r"$delta$", fontsize = 18) plt.text(3.95,-7.8,r"$a$", fontsize = 18) plt.text(4.5,8.5,r"$f(x)$", fontsize = 18,color="red") plt.show()
现在用上面的定义来证明：
$$lim_{x ightarrow 4}x^2-2x-6=2$$
即对于任意的 ε>0，能找到一个 δ>0，使得 0<|x-4|<δ 时，有 |f(x)-2|<ε。
证明：注意到 |f(x)-2|=|x2-2x-6-2|=|(x-4)(x+2)|=|x-4|·|x+2|，已知 |x-4|<δ，根据三角形不等式，|x+2|=|x-4+6|≤|x-4|+6<δ+6，所以
|f(x)-2|=|x-4|·|x+2|<δ·(δ+6)，现在只需找到一个 δ，满足 δ·(δ+6)<ε 即可，用二元一次方程知识就可以证明这样的 δ>0 是存在的。
或者只要令 δ=min(1,ε/7)，即可使得 δ≤ε/7 且 δ+6≤7，使得 δ·(δ+6)<ε。
11、泰勒级数用于极限计算
我们在中学课本中一定记忆了常见的极限，以及极限计算的规则，这里我们便不再赘言。泰勒级数也可以用于计算一些形式比较复杂的函数的极限。这里，仅举一例：
$$lim_{x ightarrow 0}frac{sin(x)}{x}=lim_{x ightarrow 0}{frac{frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots}{x}}$$
$$qquad = lim_{x ightarrow 0}{frac{x(1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}+dots)}{x}}$$
$$qquad = lim_{x ightarrow 0}{1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}+dots}$$
$$qquad = 1$$
12、洛必达法则
利用泰勒级数来计算极限，有时也会陷入困境，例如：求极限的位置是在我们不知道泰勒展开的位置，或者所求极限是无穷的。通常遇到这些情况我们会使用各种形式的洛必达法则。
这里我们仅尝试说明
$$frac{0}{0}$$
形式的洛必达法则为何成立。
如果 f 和 g 是连续函数，且
$$lim_{x ightarrow a}f(x)=0,quad lim_{x ightarrow a}g(x)=0$$
若
$$lim_{x ightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)}$$
存在，则：
$$lim_{x ightarrow a}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x ightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)}$$
如果分子分母求导后仍然是 0/0 形式，那么重复该过程，直至问题解决。
运用泰勒级数，我们很容易可以理解洛必达法则为什么会成立：
$$lim_{x ightarrow a}{frac{f(x)}{g(x)}}=lim_{x ightarrow a}{frac{f(a)+frac{f'(a)}{1!}(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}{g(a)+frac{g'(a)}{1!}(x-a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}}$$
$$qquad = lim_{x ightarrow a}{frac{frac{f'(a)}{1!}(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}{frac{g'(a)}{1!}(x-a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}}$$
$$qquad =lim_{x ightarrow a}{frac{f'(a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^2+dots}{g'(a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^2+dots}}$$
$$qquad = lim_{x ightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)}$$
参考资料：
[1] https://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/