[BZOJ 2693]jzptab

Description

给你 $n, m$ ，求 $sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m} lcm(i,j)$ 。

答案对100000009取模。

多组数据。

Input

第一行有一个正整数 $t$ 表示数据组数

接下来 $t$ 行每行有两个正整数 $n,m$

Output

$t$ 行，第 $i$ 行为第 $i$ 组询问的答案。

Sample input

1
4 5

Sample output

HINT

对于100%的数据： $t≤10000,n,m≤10^7$

$100000009$ 不是一个质数。

题解

由 [BZOJ 2154]Crash的数字表格得到：对于每个询问 $(N,M)$，设 $g(x)=mu(x)cdot x^2$ ， $t(x)=sum_{i=1}^{x}i=frac{xcdot(x+1)}{2}$ $$Rightarrow ans=sum_{d=1}^{min{N,M}}dsum_{k=1}^{minleft{leftlfloorfrac{N}{d} ight floor,leftlfloorfrac{M}{d} ight floor ight}}g(k)cdot tleft(leftlfloorfrac{N}{dk} ight floor ight)cdot tleft(leftlfloorfrac{M}{dk} ight floor ight)$$

但这个单个复杂度是 $O(N)$ 的，显然对于 $T$ 组询问 $O(Tcdot N)$ 是不行的。我这么菜是想不出正解的，只能颓题解了。

我们拿出 $dk$ 枚举 egin{aligned}Rightarrow ans&=sum_{dk=1}^{min{N,M}}tleft(leftlfloorfrac{N}{dk} ight floor ight)cdot tleft(leftlfloorfrac{M}{dk} ight floor ight)cdotsum_{d'mid dk}frac{dk}{d'}d'^2mu(d')\&=sum_{dk=1}^{min{N,M}}tleft(leftlfloorfrac{N}{dk} ight floor ight)cdot tleft(leftlfloorfrac{M}{dk} ight floor ight)cdot dksum_{d'mid dk}d'mu(d')end{aligned}

令 $f(x)=xsum_{dmid x}dcdot mu(d)$ $$Rightarrow ans=sum_{dk=1}^{min{N,M}}tleft(leftlfloorfrac{N}{dk} ight floor ight)cdot tleft(leftlfloorfrac{M}{dk} ight floor ight)cdot f(dk)$$

由于 $f(x)$ 是积性函数，线性筛的时候我们枚举数 $i$ 以及质数 $p$ 时，如果：

1. $i$ 是质数， $f(i)=icdot(1-i)$ 。因为 $mu(1)=1,mu(i)=-1$ 。
2. $p mid i$ ， $f(icdot p)=f(i)cdot f(p)$ 。因为 $p$ 为质数，由满足 $p mid i$ 所以 $i,p$ 互质。满足积性函数的性质。
3. $pmid i$ ， $f(icdot p)=f(i)cdot p$ 。因为 $p$ 已经是 $i$ 的一个素因数。所以 $p$ 的出现不会再给求和式子新的贡献，故 $f(icdot p)$ 和 $f(i)$ 中的求和式是相等的，区别就只在前面的系数，分别是 $icdot p$ 和 $i$ ，所以补乘上 $p$ 即可。

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 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
17 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
18 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
19 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
20 #define writeln(x) (write(x), putchar('
'))
21 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
22 using namespace std;
23 const int MOD = 100000009;
24 const int N = 1e7;
25 void read(int &x) {
26     char ch; bool flag = 0;
27     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
28     for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
29     x *= 1-2*flag;
30 }
31 void write(int x) {
32     if (x > 9) write(x/10);
33     putchar(x%10+48);
34 }
35 
36 int n, m, f[N+5];
37 int isprime[N+5], prime[N+5], tot;
38 
39 void get_f() {
40     memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, f[1] = 1;
41     for (int i = 2; i <= N; i++) {
42     if (isprime[i]) prime[++tot] = i, f[i] = (LL)i*(1-i)%MOD;
43     for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
44         isprime[i*prime[j]] = 0;
45         if (i%prime[j]) f[i*prime[j]] = (LL)f[i]*f[prime[j]]%MOD;
46         else {f[i*prime[j]] = (LL)f[i]*prime[j]%MOD; break; }
47     }
48     }
49     for (int i = 2; i <= N; i++) f[i] = (f[i]+f[i-1])%MOD;
50 }
51 int t(int x) {return (LL)(x+1)*x/2%MOD; }
52 int cal(int n, int m) {
53     if (n > m) Swap(n, m); int ans = 0;
54     for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) {
55     last = Min(n/(n/i), m/(m/i));
56     ans = (ans+(LL)t(n/i)*t(m/i)%MOD*(f[last]-f[i-1])%MOD)%MOD;
57     }
58     return ans;
59 }
60 void work() {
61     read(n), read(m); writeln((cal(n, m)+MOD)%MOD);
62 }
63 int main() {
64     int t; read(t); get_f();
65     while (t--) work();
66     return 0;
67 }