[SDOI 2015]约数个数和

Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 $sum^N_{i=1}sum^M_{j=1}d(ij)$

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

题解

先给出一个结论： $$ sigma_0(ij) = sum_{a | i} sum_{b | j} [gcd(a, b) = 1]$$

证明（摘自Ken_He）：

我们令 $i = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots$ ， $j = p_1^{b_1} p_2^{b_2} cdots$ ， $d | ij$ 且 $d = p_1^{c_1} p_2^{c_2} cdots$ ，则 $c_n le a_n + b_n$ 。

考虑如何不重复地统计每一个 $d$ ：令 $c_n = A_n + B_n$ ，其中 $A_n$ 和 $B_n$ 分别为 $i$ 和 $j$ 对 $c_n$ 的贡献, 则我们要求 egin{cases}B_n = 0 & A_n < a_n \B_n ge 0 & A_n = a_nend{cases}

这样一来， $c_n$ 的表示形式就变成唯一的了，因而不会被重复统计。我们再考虑如何统计这样的 $A_n$ 和 $B_n$ ：我们令 $A_n' = a_n - A_n$ ，则约束条件变为egin{cases}B_n = 0 & A_n' e 0 \B_n ge 0 & A_n' = 0end{cases}

等价于 $gcd(a, b) = 1$ 。

因此得证。

egin{aligned}ans&=sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Msum_{amid i}sum_{bmid j}[gcd(a,b)=1]\&=sum_{i=1}^Nsum_{j=1}^Msum_{amid i}sum_{bmid j}sum_{dmid gcd(a,b)}mu(d)\&=sum_{a=1}^Nsum_{b=1}^Msum_{i=1}^{leftlfloorfrac{N}{a} ight floor}sum_{j=1}^{leftlfloorfrac{M}{b} ight floor}sum_{dmid gcd(a,b)}mu(d)\&=sum_{d=1}^{min{N,M}}mu(d)sum_{a=1}^{leftlfloorfrac{N}{d} ight floor}sum_{b=1}^{leftlfloorfrac{M}{d} ight floor}leftlfloorfrac{N}{ad} ight floorleftlfloorfrac{M}{bd} ight floor\&=sum_{d=1}^{min{N,M}}mu(d)left(sum_{a=1}^{leftlfloorfrac{N}{d} ight floor}leftlfloorfrac{N}{ad} ight floor ight)left(sum_{b=1}^{leftlfloorfrac{M}{d} ight floor}leftlfloorfrac{M}{bd} ight floor ight)end{aligned}

设 $t(x)=sum_{i=1}^x leftlfloorfrac{x}{i} ight floor$ ，

显然 $$Rightarrow ans=sum_{d=1}^{min{N,M}}mu(d)cdot tleft(leftlfloorfrac{N}{d} ight floor ight)cdot tleft(leftlfloorfrac{M}{d} ight floor ight)$$

显然我们用 $O(nsqrt n)$ 预处理出函数 $t$ ，再用 $O(Tsqrt n)$ 回答询问即可。

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 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
17 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
18 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
19 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
20 #define writeln(x) (write(x), putchar('
'))
21 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
22 using namespace std;
23 const int N = 50000;
24 void read(int &x) {
25     char ch; bool flag = 0;
26     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
27     for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
28     x *= 1-2*flag;
29 }
30 void write(LL x) {
31     if (x > 9) write(x/10);
32     putchar(x%10+48);
33 }
34 
35 int mu[N+5], t[N+5], n, m;
36 
37 void get_mu() {
38     int prime[N+5], isprime[N+5], tot = 0;
39     memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, mu[1] = 1;
40     for (int i = 2; i <= N; i++) {
41     if (isprime[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -1;
42     for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
43         isprime[i*prime[j]] = 0;
44         if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
45         else {mu[i*prime[j]] = 0; break; }
46     }
47     mu[i] += mu[i-1];
48     }
49 }
50 int get_t(int x) {
51     int ans = 0;
52     for (int i = 1, last; i <= x; i = last+1) {
53     last = x/(x/i); ans += (last-i+1)*(x/i);
54     }
55     return ans;
56 }
57 
58 LL cal(int n, int m) {
59     if (n > m) Swap(n, m); LL ans = 0;
60     for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) {
61     last = Min(n/(n/i), m/(m/i));
62     ans += (LL)(mu[last]-mu[i-1])*t[n/i]*t[m/i];
63     }
64     return ans;
65 }
66 void work() {
67     read(n), read(m); writeln(cal(n,m));
68 }
69 int main() {
70     int T; read(T); get_mu();
71     for (int i = 1; i <= N; i++) t[i] = get_t(i);
72     while (T--) work();
73     return 0;
74 }