[NOIp 2014]联合权值

Description

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

Input

输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

Output

输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

Sample Input

Sample Output

20 74

HINT

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

题解

抓取有用信息:

1、$n$个点,$n-1$条边,实际上是一棵树;

2、点$(u,v)$算答案当且仅当距离为$2$(仔细审题,不是$≥2$),那就是两个点中间隔了一个点。

60分算法:

1、枚举中间点$x$,然后把与$x$相连的点取出来,然后一一枚举它们形成的点对即可;

2、时间复杂度$O(n^2)$。

100分算法:

1、考虑优化$60$分算法中统计的那部分,求最大值的话,权值最大的点和权值次大的点的乘积,就是经过这个点的最大权值点对;

2、求和的话可以这样考虑:
$$ans=a1a2+(a1+a2)*a3+(a1+a2+a3)*a4......$$

3、所以我们可以枚举每一个元素,并将当前元素的权值与之前所有元素的权值和相乘,然后把所有的结果加起来即可。

4、时间复杂度$O(n)$。

注意取模。

 1 #include <set>
 2 #include <map>
 3 #include <ctime>
 4 #include <cmath>
 5 #include <queue>
 6 #include <stack>
 7 #include <vector>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <cstring>
11 #include <cstdlib>
12 #include <iostream>
13 #include <algorithm>
14 #define LL long long
15 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
16 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
17 using namespace std;
18 const int MOD = 10007;
19 const int N = 200000;
20 
21 struct tt{
22     int to, next;
23 }edge[N*2+5];
24 int path[N+5], top;
25 int n, u, v;
26 int w[N+5];
27 LL maxans = 0;
28 int tolans;
29 
30 void add(int u, int v){
31     edge[++top].to = v;
32     edge[top].next = path[u];
33     path[u] = top;
34 }
35 
36 int main(){
37     scanf("%d", &n);
38     for (int i = 1; i < n; i++){
39   　　  scanf("%d%d", &u, &v);
40  　　   add(u, v);
41    　　 add(v, u);
42     }
43     for (int i = 1; i <= n; i++)
44    　　 scanf("%d", &w[i]);
45     for (int u = 1; u <= n; u++){
46         LL max1 = 0, max2 = 0;
47     　　int tol = 0;
48   　　  for (int i = path[u]; i; i=edge[i].next){
49     　　    LL c = w[edge[i].to];
50       　　  tolans = (tolans+tol*c) %MOD;
51         　　tol = (tol+c)%MOD;
52        　　 if (c > max2) swap(max2, c);
53        　　 if (max2 > max1) swap(max1, max2);
54        　　 maxans = Max(maxans, (LL)max1*max2);
55    　　 }
56     }
57     printf("%lld %d
", maxans, (2*tolans)%MOD);
58     return 0;
59 }