【洛谷4996】咕咕咕

题面

小 F 是一个能鸽善鹉的同学，他经常把事情拖到最后一天才去做，导致他的某些日子总是非常匆忙。

比如，时间回溯到了 2018 年 11 月 3 日。小 F 望着自己的任务清单：

看 iG 夺冠；
补月赛题的锅。

小 F 虽然经常咕咕咕，但他完成任务也是很厉害的，他一次性可以完成剩余任务的任一非空子集。比如，他现在可以选择以下几种中的一种：

看 iG 夺冠；
补月赛题的锅；
一边看 iG 夺冠的直播，一边补锅。

当然，比赛实在是太精彩了，所以小 F 就去看比赛了。

不过，当金雨从天而降、IG 举起奖杯之时，小 F 突然心生愧疚——锅还没补呢！于是，小 F 的内心产生了一点歉意。

这时小 F 注意到，自己总是在某些情况下会产生歉意。每当他要检查自己的任务表来决定下一项任务的时候，如果当前他干了某些事情，但是没干另一些事情，那么他就会产生一定量的歉意——比如，无论他今天看没看比赛，只要没有补完月赛的锅，他都会在选择任务的时候产生 1 点歉意。小 F 完成所有任务后，他这一天的歉意值等于他每次选择任务时的歉意之和。

过高的歉意值让小 F 感到不安。现在，小 F 告诉你他还有 n项任务，并告诉你在 m 种情况中的一种 state_i 的情况下，小 F 会产生 a_i 点歉意。请你帮忙计算一下，小 F 在那一天所有可能的完成所有任务方式的歉意值之和是多少。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模即可。

分析

其实比赛的时候就想到了，和取什么关系不大，因为是计算和，所以只需要将每种情况的价值*出现次数就可以了

关键就是计算这个出现次数。看见这么小的数据规模就一门心思以为是状压所以...咕咕咕了

好吧不要找借口，n<=3的时候你的出现次数也没推对啊

我们可以发现一个序列出现次数和0和1的位置无关，只和数量有关。就按计算1来说，令f[i]表示有i个1的方案数（其实f[i]同时也是有i个0的方案数，因为转移是相同的）

那么假设在最后一次填数，要填满i个1的时候，可以选j个填。那么这j个可以在i个位置上任意放置，在乘上放置前的方案数

可以得到f[i]=∑f[i-j]*C(i,j)

那么对一个情况的贡献就是 w[s]*f[0的个数]*f[1的个数]

为什么呢？选0的个数的方案和选1的个数的方案是分步而不是分类，所以根据乘法原理，s这个状态出现的方案数应该是两者相乘。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 30
#define mod 998244353
#define ll long long
ll n,m,w,s0,s1,ans;
ll f[N],c[N][N];
char s[N];
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    f[0]=1;c[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=20;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(ll j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    for(ll i=1;i<=20;i++)
        for(ll j=1;j<=i;j++)
            f[i]=(f[i]+c[i][j]*f[i-j]%mod)%mod;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s%lld",s,&w);s1=0,s0=0;
        for(ll j=0;j<n;j++)s0+=(s[j]=='0'),s1+=(s[j]=='1');
        ans=(ans+(f[s0]*f[s1])%mod*w)%mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}