用途：
一般用来求(a^xequiv b\,\,(mod\,p))的最小正整数解，其中gcd(a,p)=1
设(u=lceil sqrt(p) ceil)，则式子可以转化为(a^{iu-j}equiv b\,\,(mod\,p))，其中(iin[1,u],jin[0,u))
于是(a^{iu}equiv a^jb\,\,(mod\,p))，我们就可以枚举j，存到map中，再枚举i判重就行了
不过当存在不同的j使(a^jb\,mod\,p)相同时，我们记录较大的(因为j越大答案越小嘛)
简易原理：
费马小定理:若gcd(x,p)=1，则有(\x^{p-1}equiv1\,\,(mod\,p))，得到(x^pequiv x\,\,(mod\,p))
所以当指数不小于p时，mod p的值会形成循环
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
map<int,int> mp;
int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
int quickpow(int a,int b,int p){
int re=1;
while(b){if(b&1) re=1ll*re*a%p;a=1ll*a*a%p;b>>=1;}
return re;
}
void solve(){
int p=read(),a=read(),b=read();
if(a%p==0){puts("Couldn't Produce!");return ;}
if(b==1){puts("0");return ;}
int u=sqrt(p)+1,v=b;mp.clear();
for(int i=0;i<u;i++)
mp[v]=i,v=1ll*v*a%p;
int w=quickpow(a,u,p);v=1;
for(int i=1;i<=u;i++){v=1ll*v*w%p;
if(mp.count(v)){
printf("%d
",i*u-mp[v]);
return ;
}
}puts("Couldn't Produce!");
}
int main(){
int T=read();
while(T--) solve();
return 0;
}
扩展：
可以看到BSGS是有着局限性的，即必须满足gcd(a,p)=1
那么当gcd(a,p)!=1时呢？我们设(d=gcd(a,p))
Step1:
我们首先判断(b)是否满足(d|b)，若不满足，由裴蜀定理可知无解
Step2:
式子转化为:
[a^{x-k}frac{a^k}{Pi_{i=1}^kd_i}equiv frac{b}{Pi_{i=1}^kd_i}\,\,(mod\,\,frac{p}{Pi_{i=1}^kd_i})
]
令(c=frac{a^k}{Pi_{i=1}^kd_i}，b'=frac{b}{Pi_{i=1}^kd_i}，p‘=frac{p}{Pi_{i=1}^kd_i})，若(c=b')，则直接输出(k)
Step3:
令(d=gcd(a,p'))，若(d e 1)，则返回step1，不过b变成了b'
全部完成后，我们得到式子：(a^{x-k}cequiv b'\,\,(mod\,\,p'))，此时满足(gcd(a,p')=1)
那么我们便可以直接BSGS了
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define ll long long
using namespace std;
unordered_map<int,int> mp;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
inline int gcd(int x,int y){
if(y>x) swap(x,y);
while(y){swap(x,y);y=y%x;}
return x;
}
inline int quickpow(int a,int b,int p){
int re=1;
while(b){if(b&1) re=1ll*re*a%p;a=1ll*a*a%p;b>>=1;}
return re;
}
inline void solve(int a,int p,int b){
if(p==1){puts("0");return ;}
if(b==1){puts("0");return ;}
int d=gcd(a,p),flag=0,k=0,c=1;
while(d^1){
if(b%d){
puts("No Solution");
flag=1;break;
}p/=d,b/=d,++k;
c=1ll*c*(a/d)%p;
if(b==c){
printf("%d
",k);
flag=1;break;
}d=gcd(a,p);
}if(flag) return ;
mp.clear();
int u=sqrt(p)+1,v=b;
for(int i=0;i<u;i++)
mp[v]=i,v=1ll*v*a%p;
v=c,c=quickpow(a,u,p);
for(int i=1;i<=u;i++){
v=1ll*v*c%p;
if(mp.count(v)){
printf("%d
",i*u-mp[v]+k);
return ;
}
}puts("No Solution");
}
int main(){
while(1){
int a=read(),p=read(),b=read();
if(a==0&&b==0&&p==0) return 0;
a%=p;b%=p;solve(a,p,b);
}
}
话说为什么unordered_map比map快这么多啊，不过有时候编译会出锅...