树链剖分原理与应用

树链剖分这个算法我看了好多大神们的博客，才慢慢领悟，希望我写的过得去( · · )

众所周知，维护区间信息的题目可以用线段树高效实现。类似于区间这样一维的结构，在树上维护两点间的信息【比如树上两点之间的最大值】也可以用线段树吗？

仔细想想，好像很难实现。因为线段树维护的是链状结构，而树是一张图。

但我们想想，如果能把一棵树化为一条链，使得要节点间编号是一段一段的【也就是有些节点间的编号是连续的，但不是所有节点间都连续】，这样就可以通过多次调用维护区间的线段树来实现线段树维护树【两点之间有几个连续的段就调用几次】

这就是树链剖分要做的事情：把树分成许多条链，对节点重新编号，化树为链，以套用其他链状数据结构

怎么剖？

最好的就是剖分轻重链。

首先，我们先维护一些节点的信息：

siz[u] 以u为根的子树的大小

fa[u] u的父亲节点

dep[u] u的深度

son[u] u的重儿子

top[u] u所在重链的顶端节点

id[u] 树链剖分后u节点的编号

对于每一个非叶节点，它所有儿子中siz最大的那个就是它的重儿子。

对于前4项，我们可以通过一次dfs完成

看代码：

void dfs1(int u,int d,int f){
	int to;
	fa[u]=f;
	dep[u]=++d;
	siz[u]=1;
	for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)
		if((to=edge[k].to)!=f){
			dfs1(to,d,u);
			siz[u]+=siz[to];
			if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to;
		}
	
}

对于top和id,我们需要再进行一次dfs,这次dfs优先往重儿子，这样子dfs序就是id，因为这样你会发现：

1、对于每个重链，它上边的节点编号一定是连续的

2、对于每个节点，以它为根的子树里的所有节点一定是它接下来的那些编号【比如一个节点编号2，它为根的子树大小6，那么接下来3、4、5、6、7一定在它的子树里】

这两个性质有什么用呢？

当我们要维护两节点间的信息时，我们只需沿着重链就可以套用线段树了【因为编号是连续的】（性质1）

当我们要维护某一个子树信息时，我们只需维护区间[id[u],id[u]+siz[u]-1]（性质2）

具体实现：

void dfs2(int u,int f,int flag){
	id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u;
	flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u;
	if(son[u]) dfs2(son[u],u,1);
	int to;
	for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){
		if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u])
			dfs2(to,u,0);
	}
}

就这样子，我们就“剖”完了(^_^)

代码还是很容易理解的，多打打

树链剖分求LCA &树链剖分+线段树

为什么放在一起？因为这两个玩意原理一样。

对于节点u和v，它们在一个重链里，当且仅当top[u]==top[v]成立

若它们不在一个重链，我们不妨设top[u]的深度较大，那么我们令u=fa[top[u]]，继续往上找。

在寻找过程中经过的路径就是u和v之间的路径，u最后到达的节点就是lca

这里就不在赘述了【我懒。。。】

拍上一个树链剖分模板题：

洛谷P3384 【模板】树链剖分

题目描述

如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：

操作1：格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z

操作2：格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和

操作3：格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z

操作4：格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。

接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。

接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）

接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：

操作1： 1 x y z

操作2： 2 x y

操作3： 3 x z

操作4： 4 x

输出格式：

输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

2
21

说明

时空限制：1s，128M

数据规模：

对于30%的数据： $N \leq 10, M \leq 10$

对于70%的数据： ${10}^3, M leq {10}^3$

对于100%的数据： ${10}^5, M leq {10}^5$

$^{经典的模板题，直接拍代码，慢慢体会：}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005,INF=200000000;

inline int read(){
	int out=0,flag=1;char c=getchar();
	while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
	while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}
	return out*flag;
}

int N,M,rt,P;
int A[maxn];

int head[maxn],nedge=0;
struct EDGE{
	int to,next;
}edge[2*maxn];

inline void build(int a,int b){
	edge[nedge]=(EDGE){b,head[a]};
	head[a]=nedge++;
	edge[nedge]=(EDGE){a,head[b]};
	head[b]=nedge++;
}

int siz[maxn],fa[maxn],son[maxn],dep[maxn],top[maxn],id[maxn],Hash[maxn],cnt=0;

void dfs1(int u,int d,int f){
	int to;
	fa[u]=f;
	dep[u]=++d;
	siz[u]=1;
	for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)
		if((to=edge[k].to)!=f){
			dfs1(to,d,u);
			siz[u]+=siz[to];
			if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to;
		}
	
}

void dfs2(int u,int f,int flag){
	id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u;
	flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u;
	if(son[u]) dfs2(son[u],u,1);
	int to;
	for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){
		if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u])
			dfs2(to,u,0);
	}
}

int L,R,sum[4*maxn],lazy[4*maxn];

void build(int u,int l,int r){
	if(l==r) sum[u]=A[Hash[l]];
	else{
		int mid=(l+r)>>1;
		build(u<<1,l,mid);
		build(u<<1|1,mid+1,r);
		sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P;
	}
}

void pd(int u,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1;
	sum[u<<1]=(sum[u<<1]+lazy[u]*(mid-l+1)%P)%P;
	sum[u<<1|1]=(sum[u<<1|1]+lazy[u]*(r-mid)%P)%P;
	lazy[u<<1]=(lazy[u<<1]+lazy[u])%P;
	lazy[u<<1|1]=(lazy[u<<1|1]+lazy[u])%P;
	lazy[u]=0;
}

void add(int u,int l,int r,int v){
	if(l>=L&&r<=R) {sum[u]=(sum[u]+(r-l+1)*v%P)%P;lazy[u]=(lazy[u]+v)%P;}
	else{
		if(lazy[u]) pd(u,l,r);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(mid>=L) add(u<<1,l,mid,v);
		if(mid<R) add(u<<1|1,mid+1,r,v);
		sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P;
	}
}

int Query(int u,int l,int r){
	if(l>=L&&r<=R) return sum[u];
	else{
		if(lazy[u]) pd(u,l,r);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(mid>=R) return Query(u<<1,l,mid);
		else if(mid<L) return Query(u<<1|1,mid+1,r);
		else return (Query(u<<1,l,mid)+Query(u<<1|1,mid+1,r))%P;
	}
}

void solve1(int u,int v,int x){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		L=id[top[u]];
		R=id[u];
		add(1,1,N,x);
		u=fa[top[u]];
	}
	if(id[u]>id[v]) swap(u,v);
	L=id[u];
	R=id[v];
	add(1,1,N,x);
}

void solve2(int u,int v){
	int ans=0;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		L=id[top[u]];
		R=id[u];
		ans=(ans+Query(1,1,N))%P;
		u=fa[top[u]];
	}
	if(id[u]>id[v]) swap(u,v);
	L=id[u];
	R=id[v];
	ans=(ans+Query(1,1,N))%P;
	printf("%d
",ans);
}

void solve3(int u,int v){
	L=id[u];
	R=id[u]+siz[u]-1;
	add(1,1,N,v);
}

void solve4(int u){
	L=id[u];
	R=id[u]+siz[u]-1;
	printf("%d
",Query(1,1,N));
}

int main()
{
	fill(head,head+maxn,-1);
	N=read();
	M=read();
	rt=read();
	P=read();
	int a,b,cmd;
	for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=read();
	for(int i=1;i<N;i++){
		a=read();
		b=read();
		build(a,b);
	}
	dfs1(rt,0,0);
	dfs2(rt,0,0);
	//for(int i=1;i<=N;i++) printf("%d ",Hash[i]);cout<<endl;
	build(1,1,N);
	while(M--){
		cmd=read();
		a=read();
		switch(cmd){
			case 1:b=read();solve1(a,b,read());break;
			case 2:b=read();solve2(a,b);break;
			case 3:b=read();solve3(a,b);break;
			case 4:solve4(a);break;
			default:break;
		}
	}
	return 0;
}

$^{ }$