tyvj1305 最大子序和 【单调队列优化dp】

描述

输入一个长度为n的整数序列，从中找出一段不超过M的连续子序列，使得整个序列的和最大。

例如 1，-3,5,1，-2,3

当m=4时，S=5+1-2+3=7
当m=2或m=3时，S=5+1=6

输入格式

第一行两个数n,m
第二行有n个数，要求在n个数找到最大子序和

输出格式

一个数，数出他们的最大子序和

测试样例1

输入

6 4 
1 -3 5 1 -2 3

输出

7

备注

数据范围：
100%满足n,m<=300000

题解

我们由题设f[i]为i位置最大子段和，得到状态转移方程f[i] = max(f[i - 1],sum[i] - sum[k]);  【i - k <= m】

很明显这样做是O(n ^ 2)

对于求sum[i] - sum[k]的最大值，我们可以用单调队列优化

单调队列

单调队列，顾名思义，就是单调的队列，用以O(1)求最值

单调队列用双向队列维护，队首是最值【假设是最大】

每次我们向队尾插入一个元素时，我们若队尾的元素比它要小就将他删除，直至队列为空或者队尾元素大于插入

元素，再将其插入

例如5 3 1，我们要插入4

检查1 < 4，队列变为5 3

检查3 < 4，队列变为5

检查5 > 4，队列变为5 4

插入完成

你会发现这样的操作能满足队列一定单调，而队首就是我们要的值

但注意随着时间的推移，队首元素可能“过时”，就是超出了我们所规定的范围，这个时候就删除队首，直至满足范围

由于每个元素最多进队出队一次，所以总复杂度O(n)

那么这题就好做了，我们用一个单调队列维护前m个sum值，每次只用O(1)就可以转移方程

复杂度O(n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 300005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int n,m,q[maxn],head,tail,sum[maxn],f[maxn];
int main()
{
	n = read(); m = read();
	REP(i,n) sum[i] = sum[i - 1] + read();
	head = tail = 0; q[head] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		while (i - q[head] > m) head++;
		f[i] = max(f[i - 1],sum[i] - sum[q[head]]);
		q[++tail] = i;
		while (tail > head && sum[q[tail]] < sum[q[tail - 1]]) q[tail - 1] = q[tail],tail--;
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}