数学期望的性质
若有定义在(Omega)上的离散型随机变量X，它的取值只有一个数c，那么显然(p(X=c)=1)。它的期望就为(E(X)=c*p(X=c)=c)。
若又有一个在(Omega)上的随机变量Y，(X=s)时，均有(Y=cs)，说明Y的基本事件与X的基本事件相同：(E(Y)=sum y_ip(Y=y_i)=sum cx_ip(X-x_i)=cE(X))。
若(X=x_i,Y=y_j)时，(Z=z_{ij}=x_i+y_j)，说明Z中的基本事件，是X中的基本事件和Y中的基本事件组合在一起的。举个例子：抛硬币，正面为1反面为0，走1或0步，期望步数为0.5。掷骰子，走骰子点数，期望步数为3.5。那么既抛硬币又掷骰子，走的期望步数就为0.5+3.5=4：
(E(Z)=sum z_ip(Z=z_i)=sum_i sum_j(x_i+y_j)p(X=x_i&Y=y_i))
(=sum_i sum_jx_i p(X=x_i&Y=y_j)+sum_i sum _jy_jp(X=x_i&Y=y_j))
(=sum_i x_i sum_jp(X=x_i&Y=y_j)+sum_jy_jsum_ip(X=x_i&Y=y_i))
(=sum_i x_ip(X=x_i)+sum_jy_jp(Y=y_j)=E(X)+E(Y))
现在可以来考虑二项分布的期望。回忆之前的内容，二项分布意思是说进行n次独立重复的伯努利试验，随机变量的取值表示成功的次数，这时概率(p(X=k)=(^n_k)p^kq^{n-k})，因此叫它二项分布。每一次伯努利试验的(E(X)=p)，因此n次试验成功的期望次数为(E(X)=E(X_1+X_2+...+X_n)=np)。
类比条件概率，还有条件期望：
(E(X|Y=y_0)=sum x_ip(X=x_i|Y=y_0))。因此，如果每个X的基本事件和每个Y的基本事件都相互独立，那么(E(X|Y=y_0)=E(X))。
如果两个随机变量独立，那它们的期望满足可乘性。设随机变量Z，满足(z_{ij}=x_iy_j)，那么：
(E(Z)=sum z_ip(Z=z_i)=sum_isum_Jx_iy_jp(X=x_i&Y=y_i))
(=sum_isum_jx_iy_jp(X=x_i)p(Y=y_j))
(=(sum_ix_ip(X=x_i))(sum_jy_jp(Y=y_j))=E(X)E(Y))
把前面那个硬币和骰子的例子稍微改一改，抛到正面(ATK*=2)，抛到反面(ATK*=1)，骰子的点数表示ATK乘的倍数，那么抛硬币的期望是(ATK*=1.5)，掷骰子的期望是(ATK*=3.5)，既投硬币又掷骰子的期望则是(ATK*=1.5*3.5=5.25)。
类比全概率公式，还有全期望公式：
(E(E(X|Y))=sum_j E(X|Y=y_j)p(Y=y_j))（这一步看不懂的，可以参考一下期望的定义）
(=sum_jp(Y=y_j)sum_ix_ip(X=x_i|Y=y_i))（这一步没懂）
(=sum_jp(Y=y_j)sum_ix_ifrac{p(X=x_i & Y=y_j)}{p(Y=y_j)})
(=sum_jsum_ix_ip(X=x_i&Y=y_j)=sum_ix_isum_jp(X=x_i&Y=y_i)))
(=E(X))