0-1 背包问题
给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 mi，其价值为 vi 。
问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
解决办法：声明一个 大小为 dp[n][c] 的二维数组，dp[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 dp[i][j] 的计算方法，
（1）. j < m[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]
（2）. j>=m[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ] + v[ i ]。 这里的dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-m[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了m[i]的空间。
如果不拿，dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] , 同（1）
究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。
例题
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
int m[101] = {0,15,10,12,8}; //投资
int v[101] = {0,12,8,9,5}; //收益
int c = 30,n = 4; //c为总重， n为种类数
void trace(){
for(int i = 4; i > 1; i--){
if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
x[i] = 0;
else{
x[i] = 1;
c -= m[i];
}
}
x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cout << x[i] << " ";
cout << endl;
}
int main(){
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= c; j++){
if(j >= m[i]){ //注意等号
dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
}
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= c; j++){
cout << dp[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << dp[n][c] << endl;
trace(); // 输出方案
return 0;
}
结果
0 1 1 1表示选择后3个，即B C D项目