中国剩余定理和扩展中国剩余定理

前置知识

中国剩余定理(CRT)

目的

求最小的正整数(x)，使其满足

(egin{cases} xequiv a_{1}left( mod m ight) \ xequiv a_{2}left( mod m_{2} ight) \ vdots \ xequiv a_{n}left( mod m_{n} ight) end{cases})

其中 (m_1,m_2dots m_n)互质

求法

令 (egin{aligned}M=prod ^{n}_{i=1}m_{i}end{aligned})

设 (omega _{i}=dfrac {M}{m_{i}})

(omega_i^{-1})为(omega_i)在(mod m_i)下的逆元

则有
(egin{aligned}x=sum ^{n}_{i=1}a_{i}omega_{i}omega_{i}^{-1} mod Mend{aligned})

当对(m_i)取模时，除了有(omega_i)的项，其余项都是(m_i)的倍数，也就是说它们(mod m_i)是为(0)的，最后得到的结果就是(a_i)

(m_1,m_2dots m_n)互质
为了保证是最小正整数解，我们乘以(omega_i)的逆元，这样保证了其不会过大

Code

#define ll long long
#define ull unsigned long long

void ex_gcd (ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if (!b){	x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}

ll mul (ll x,ll y,const ll mod)//快速乘
{
	x%=mod,y%=mod;
	ll z=(long double)x*y/mod;
	ll ans=(ull)x*y-(ull)z*mod;
	return (ans+mod)%mod;
}

ll crt (int *a,int *m,int n)
{
	ll M=1,ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)	M*=m[i];
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ll ni,jk;
		ex_gcd(M/m[i],m[i],ni,jk);//ni 逆元
		ans=(ans+mul(mul(M/m[i],a[i],M),ni,M))%M;
	}
	return ans;
}

扩展中国剩余定理(EXCRT)

目的

求最小的正整数(x)，使其满足

(egin{cases} xequiv a_{1}left( mod m ight) \ xequiv a_{2}left( mod m_{2} ight) \ vdots \ xequiv a_{n}left( mod m_{n} ight) end{cases})

其中 (m_1,m_2dots m_n)不一定互质

解法

对于(CRT)而言，这里的条件变为(m)之间可以不互质了
显然是不能向原来那样直接求了
考虑已经知道了前(i-1)个方程的答案(x)
设前(i-1)个(m)的最小公倍数(lcm(m1,m2dots m_{i-1})=M)
现在考虑第(i)个方程
(xequiv a_ileft(mod m_i ight))
我们知道前(i-1)个方程的最小解为(x)，那么其通用解就是(x+kM)
因为(kM)对前(i-1)个(m)取模肯定是等于(0)的
那么考虑了第(i)个方程后的解应也是如上的一个形式
就设为(x+kM)吧
那么我们就是要求关于(k)的这样的方程
(kM+xequiv a_ileft(mod m_i ight))
其中(x,a_i,m_i)都是已知的
这就是一个简单的同余方程了
(kM-pm_i=a_i-x)
其中两个未知数(k,p)
用(ex_gcd)求解即可
无解条件就是上述方程无解

code

#define ll long long
#define ull unsigned long long

ll ex_gcd (ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if (!b){	x=1,y=0;return a;}
	ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
	return g;
}

ll mul (ll a,ll b,ll mod)//快速乘
{
	a%=mod,b%=mod;
	ll c=(long double)a*b/mod;
	ll ans=(ull)a*b-(ull)c*mod;
	return (ans+mod)%mod;
}

ll ex_crt (ll *a,ll *m,int n)
{
	ll ans=a[1]%m[1],M=m[1];
	for (int i=2;i<=n;++i){
		ll gcd,x,y,c=(a[i]%m[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
		gcd=ex_gcd(M,m[i],x,y);
		if (c%gcd)	return -1;
		x=mul(x,c/gcd,m[i]/gcd);
		ll lm=M;
		M=M/gcd*m[i];
		ans=((ans+mul(x,lm,M)%M)%M+M)%M;
	}
	return ans;
}

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