(Burnside引理)
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公式
(egin{aligned}L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}end{aligned}) -
一些定义
(E_i) 表示与(i)同类的方案
(Z_i) 表示使(i)不变的置换
(G) 表示所有的置换方法
(D_i) 表示(i)这种置换能使多少方案不变
(n) 表示方案总数
(L) 表示本质不同的方案数 -
引理的引理
(|E_i|*|Z_i|=|G|) ( //)这个我不会证明
(egin{aligned}n=sum_{i=1}^{L}{|E_i|}end{aligned})( //)这个就是按照定义,注意的是(E_i)表示的是本质不同的第(i)种方案
(egin{aligned}sum_{i=1}^n|Z_i|=sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}end{aligned})( //)这个也是按照定义,就是换了个计算方法,计算的是同样的东西 -
Burnside引理
(egin{aligned}sum_{j=1}^n|Z_j|=sum_{i=1}^Lsum_{j in E_i}|Z_j|=sum_{i=1}^L|E_i|·|Z_i|=L·|G| end{aligned})
(egin{aligned} herefore L·|G|=sum_{j=1}^{|G|}D_{G_i} end{aligned})
(egin{aligned} herefore L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i} end{aligned})
(Polya定理)
- 公式
(egin{aligned}L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}m^{C_{G_i}}end{aligned})
其中(m)为颜色个数,(C_i)为第(i)种置换有多少个循环
(一个置换的循环个数)
一个项链有(n)个珠子,用(k)种颜色涂染会形成多少种不同的项链
两条可通过旋转得到的项链为相同项链
有(n)种置换方式(()每次旋转(0,1,2...n)个珠子())
对于一次旋转(i)个珠子的方式,有(gcd(i,n))个循环
证明
每个循环有的珠子的个数因是一样的
假设从(x)号珠子开始置换,循环结束时一定回到(x)号珠子 如(x->(x+i-1)\%n+1->(x+2i-1)\%n+1->x)
假设循环有(p)个珠子,那么循环(p)次就回到原来的珠子,此时转过(i)和(n)的最小公倍数个珠子
(p·i=i·n/gcd(i,n) kin Z)
( herefore p=n/gcd(i,n))
每个循环有(p)个珠子那么就有(n/p=gcd(i,n))个循环