LIS 最长递增子序列问题

一，最长递增子序列问题的描述

设L=<a₁,a₂,…,a_n>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<a_K1,a_k2,…,a_km>，其中k₁<k₂<…<k_m且a_K1<a_k2<…<a_km。求最大的m值。

比如int* inp = {9，4，3，2，5，4，3，2}的最长递减子序列为{9，5，4，3，2}；

二，解决：

1.用一个临时数组tmp保存这样一种状态：tmp[i]表示以i为终点的递增序列的长度；

比如inp = {3，2，5}那么tmp = {1, 1, 2}，其中tmp[2]=2表示包含i=2位（inp[2]=5）的LIS的个数，即序列{3,5}，个数为2；

2.假设已经知道了tmp[0]到tmp[n-1]，那我们如何通过tmp[0]到tmp[n-1]的状态求得tmp[n]的状态？

比如inp = {3，2，5}，已经求得tmp[0]=1,tmp[1]=1,怎么求tmp[2]？

如果i<2那，i就有可能在2为终点的LIS序列上，那以2为终点的递增序列的长度就至少是i的最长序列+1,那么就必须满足以下两个条件：

inp[i]<inp[n] tmp[i]+1>tmp[n]

比如i=0时，inp[0]=3<inp[n]=5且tmp[0]+1=2>tmp[2]=1(tmp[i]初值都为1)；则赋值tmp[2] = tmp[0]+1=2；

继续比较i=1，此时inp[1]=2<inp[n]=5且tmp[1]+1=2不大于tmp[2]=2；

一直循环到n-1位为止！最后得到tmp = {1, 1, 2}；

其中tmp的最大元素即为LIS的最大长度！

3.我们如何输出LIS的所有的值呢？

其实我们只需要知道LIS中，每个元素的前面一位元素的位置即可:

比如tmp = {1, 1, 2}的最大值是2，该LIS最后一位元素出现在i=2位，如果我们保存inp[2]=5在LIS中前面的那个元素，以此类推，我们就能找到LIS中所有元素；

比如{3，2，5}的LIS是{3，5}或{2，5}，我们用另一个临时数组存储它前一位元素下标int arr = {-1,-1,0}，表示以inp[2]=5结尾的LIS，其前一位元素的小标是0，即inp[0]=3，这样就找到了{3，2，5}的LIS是{3，5}；

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>
//求最长递增子序列;
//ret[i]存放包含第i位的LIS的元素个数；
//path用于保存最长递增子序列路径；path[i]存放包含第i位的LIS的前一位元素的下标；
int LIS(int* inp,int len,int* ret,int* path){
   assert(inp);
   if(len <= 0) return;
   int i = 0,max = 0,maxpoint = 0;
   for(;i<len;i++){
     ret[i] = 1;
     path[i] = -1;//初始值都-1，为了以后输出方便，初值0时和path[0]混淆；
     int j = 0;
     for(;j<i;j++){
        if(inp[i] > inp[j] && ret[j]+1 > ret[i]){
           ret[i] = ret[j] + 1;
           path[i] = j;
        }
     }
     printf("ret[i] ==%d
",ret[i]);
     if(ret[i] > max){
        max = ret[i];
        maxpoint = i;//ret中最大的那个元素的下标；
     } 
   }
   return maxpoint;
}

//输出数组
void printinp(int* inp,int len){
   int i = 0;
   for(;i<len;i++){
     printf("inp = %d
",inp[i]);
   }
}

//输出LIS；LIS中-1表示：包含该位元素的LIS，其前面没有元素；
void printpath(int* inp,int* path,int key){
   for(;key>=0;){
      printf("inp[%d]=%d
",key ,inp[key]);
      if(key == 0) break;//path[0]处会死循环，必须跳出
      key = path[key];
   }
}

int main(){
  int inp[] = {2,9,4,6,8,7,1,3,5};
  int len = sizeof(inp)/sizeof(int);
  int ret[len];
  int path[len];
  int maxpoint = LIS(inp,len,ret,path);
  printpath(inp, path, maxpoint);
}

输出结果：

ret[i] ==1
ret[i] ==2
ret[i] ==2
ret[i] ==3
ret[i] ==4
ret[i] ==4
ret[i] ==1
ret[i] ==2
ret[i] ==3
inp[4]=8
inp[3]=6
inp[2]=4
inp[0]=2

LIS结果是8 6 4 2，输出正确！