本文将会总结阿贝尔群$mathbb{Q} /mathbb{Z} $的一些重要性质。
先从这个群的起源开始说起。$mathbb{Q} /mathbb{Z} $可以从$mathbb{Z} $的内射消解$0 omathbb{Z} omathbb{Q} omathbb{Q}/mathbb{Z} o 0$得到，而由$mathbb{Z} $是一个Dedekind整环，我们立刻得到$mathbb{Q} /mathbb{Z} $是内射$mathbb{Z} $-模。更加重要的是，它是一个余分离子：
定义 一个可除阿贝尔群$G$如果对每一个素数$p$都包含一个$p$阶元，则$G$被称作一个余分离子。
余分离子在刻画平坦模上起着重要的作用。其作用体现在下面这个命题中。
命题 一个右$R$-模$A$如果能够使$mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，其中$C$是一个余分离子，那么$A$是平坦模。
为了证明这个命题，我们先引入一个简单的引理：
引理 假设$G$是一个余分离子，$H$是一个阿贝尔群，那么对于任意的$hin Hsetminus{0} $，存在一个$varphiinmathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (H,G)$使得$varphi (h) eq 0$.
证明 由于$G$含有所有素数阶元，因此对$H$中的任意元素$h$，总是存在一个从$langle h angle $到$G$的一个同态，再由$G$是内射模，我们立刻得到所需结论。$square $
命题的证明 对给定的$R$-模正合列$0 o D o B o E o 0$，由于$mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，因此有正合列$0 omathrm{Hom}_R (D,mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C) ) omathrm{Hom}_R (B,mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C) ) omathrm{Hom}_R (E,mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C) ) o 0$。由$mathrm{Hom} $函子的基本定理有正合列$0 omathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (Dotimes A,C) omathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (Botimes A,C) omathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (Eotimes A,C) o 0$。由于$C$是内射阿贝尔群，因此这个正合列就蕴含了正合列$0 o Dotimes A o Botimes A o Eotimes A o 0$. $square $
由此我们已然得到了平坦模的一个判别定理，也因此，模$mathrm{Hom}_{mathbb{Z} } (A,C)$称为模$A$的一个特征模。关于这一些结论的最终结果是：
引理（平坦判别引理） 右模$A$是平坦的当且仅当对任意有限生成左理想$I$，$Aotimes Icong AI$.
这个引理就是上述命题的直接推论，因此证明略。
从上面的讨论我们知道，阿贝尔群$mathbb{Q} /mathbb{Z} $是内射$mathbb{Z} $-模并且其对所有素数都包含一个素数阶元，因此它可以用于“提取”一个阿贝尔群中的挠元素。
命题 若$G$是挠阿贝尔群，那么$mathrm{Hom} (G,mathbb{Q} /mathbb{Z} )cong G$.
证明略。