已知函数(f(x)=x{ln}x-2mx)((minmathbb{R})).
((1)) 求函数(f(x))在区间(left[sqrt{mathrm{e}},mathrm{e}^2
ight])上的最小值;
((2)) 若(x_1,x_2inleft(dfrac{1}{mathrm{e}},+infty
ight)),求证:(x_1x_2<left(x_1+x_2
ight)^{2+frac{x_1}{x_2}+frac{x_2}{x_1}}).
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得$$
f'(x)={ln}x+1-2m,x>0.$$
因此(f(x))在(left(0,mathrm{e}^{2m-1}
ight))单调递减,在(left[ mathrm{e}^{2m-1},+infty
ight))单调递增.
情形一 若(m<dfrac{3}{4}),则(mathrm{e}^{2m-1}<mathrm{e}^{frac{1}{2}}),此时所求最小值为(fleft(sqrt{mathrm{e}}
ight)=left(dfrac{1}{2}-2m
ight)sqrt{mathrm{e}}).
清新二 若(m>dfrac{3}{2}),则(mathrm{e}^{2m-1}>mathrm{e}^2),此时所求最小值为(fleft(mathrm{e}^2
ight)=2(1-m)mathrm{e}^2).
情形三 若(minleft[dfrac{3}{4},dfrac{3}{2}
ight]),则$$mathrm{e}^{frac{1}{2}}leqslant mathrm{e}{2m-1}leqslantmathrm{e}2.$$此时所求最小值为(fleft(mathrm{e}^{2m-1}
ight)=-mathrm{e}^{2m-1}).
((2)) 若记((a,b)=left(x_1x_2,x_1+x_2
ight),)则
$$a>dfrac{1}{mathrm{e}^2},b>dfrac{2}{mathrm{e}},b>2sqrt{a}>dfrac{2}{mathrm{e}}.$$
题中待证不等式重写为$$
a{ln}a<b^2{ln}b.$$记右侧表达式为函数(y=g(b),b>dfrac{2}{mathrm{e}}),容易知道(g(b))在(left(dfrac{2}{mathrm{e}},+infty
ight))单调递增,从而$$
gleft(b
ight)>gleft(2sqrt{a}
ight)=4a{ln}left(2sqrt{a}
ight).$$显然(4a{ln}left(2sqrt{a}
ight)>a{ln}a),于是原题证毕.