已知正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的棱长为(sqrt2),点(P)为对角线(A_1C_1)的中点,(E,F)分别为对角线(A_1D),(BC_1()含端点())上的动点,则(PE+PF)的最小值为((qquad))
(mathrm{A}.sqrt{2}) (qquadmathrm{B}.sqrt{3}) (qquadmathrm{C}.2) (qquadmathrm{D}.2sqrt{2})
解析 如图所示,将正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)关于平面(A_1B_1C_1D_1)对称得到正方体(A'B'C'D'-A_1B_1C_1D_1),则$$
PE+PF=PE'+PF.$$显然(A_1D')和(BC_1)平行,因此当(E',P,F)三点共线并且(E'Fperp BC_1)时,所求表达式取得最小值.
即求$A_1$到$BC_1$的距离,而$ riangle A_1BC_1$为正三角形,所以$A_1$到$BC_1$的最小值为$sqrt{3}$.因此正确选项为$ m B$.