已知(F)为抛物线(C_1:y^2=2px)((p>0))的焦点,(E)为圆(C_2:(x-4)^2+y^2=1)上任意一点,且(|EF|)的最大值为(dfrac{19}{4}).
((1)) 求抛物线(C_1)的方程;
((2)) 若(M(x_0,y_0))((2leqslant y_0leqslant 4))在抛物线(C_1)上,过(M)作圆(C_2)的两条切线,交抛物线(C_1)于(A,B),求(AB)中点的纵坐标的取值范围.
解析:
((1)) 由题易知(F)的坐标为(left(dfrac{p}{2},0
ight)),于是(|EF|)的最大值为$$
left|4-dfrac{p}{2}
ight|+1=dfrac{19}{4}.$$解得(p=dfrac{1}{2})或(p=dfrac{31}{2}).所以所求抛物线方程为(y^2=x)或(y^2=31x).
((2)) 由题,设$$M(2pt_02,2pt_0),A(2pt_12,2pt_1),B(2pt_2^2,2pt_2).$$易得直线(MA)的一般方程为$$
x-left(t_0+t_1
ight)y+2pt_0t_1=0.$$由于直线(MA)与圆(C_2)相切,所以圆心(C_2)到直线(MA)的距离为(1),即有$$
left(4+2pt_0t_1
ight)2=1+left(t_0+t_1
ight)2.$$同理,由(MB)与(C_2)相切可得$$
left(4+2pt_0t_2
ight)2=1+left(t_0+t_2
ight)2.$$两式作差可得$$left[8+2pt_0left(t_1+t_2
ight)
ight]cdotleft(t_1-t_2
ight)cdot 2pt_0=
left(2t_0+t_1+t_2
ight)cdotleft(t_1-t_2
ight).$$显然(t_1-t_2
eq 0),若记(AB)中点横坐标为(m),则$$
m=dfrac{2pt_1+2pt_2}{2}=dfrac{16p2t_0-2pt_0}{1-4p2t_02}=dfrac{(8p-1)y_0}{1-y_02}.$$无论(p=dfrac{1}{2})还是(dfrac{31}{2}),(m)都是关于(y_0)的单调递增函数,因此(m)的取值范围为$$left[-dfrac{2(8p-1)}{3},-dfrac{4(8p-1)}{15}
ight].$$
情形一 当(p=dfrac12),(AB)中点的纵坐标取值范围为(left[-2,-dfrac{4}{5}
ight]).
情形二 当(p=dfrac{31}{2}),(AB)中点的纵坐标取值范围为(left[-82,-dfrac{164}{5}
ight]).