每日一题_191030

已知( riangle ABC)的内角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c),若(a=sqrt{2}),(b^2-c^2=6),则角(A)最大时,( riangle ABC)的面积等于(underline{qquadqquad}.)
解析:
法一 由题有$$
egin{split}
cos A&=dfrac{b^2+c2-a^{2}{2bc}=dfrac{b}2+c^2-2}{2bc}
&=dfrac{b^2+c2-dfrac{1}{3}left(b^2-c2 ight)}{2bc}
&=dfrac{b}{3c}+dfrac{2c}{3b}
&geqslant dfrac{2sqrt{2}}{3}.
end{split}$$
当且仅当$$left(dfrac{b}{3c}=dfrac{2c}{3b} ight)land left(b^2-c2=6 ight)$$即((b,c)=left(2sqrt{3},sqrt{6} ight))时等号成立.因此(cos A)的最小值为(dfrac{2sqrt{2}}{3}),此时(A)最大,所求三角形面积为$$
S_{ riangle ABC}=dfrac{1}{2}bcsin A=sqrt2.$$

法二 建立如图所示的平面直角坐标系,设(A(x,y)),


则由$b^2-c^2=6$可得$x=dfrac{3sqrt{2}}{2}$.或者由等差幂线知识易知$A$的轨迹为$$x=dfrac{3sqrt{2}}{2},y eq 0.$$ 于是接下来的问题即求使得$A$角最大的位置,即米勒最大视角问题,当经过$B,C$两点的圆$($记为圆$E)$与$A$的轨迹相切时,$A$角最大. 此时$$ dfrac{3sqrt{2}}{2}=|EA|=|EB|=sqrt{|OE|^2+|OB|^2}.$$解得$|OE|=2$.此时$ riangle ABC$的面积为$$ S_{ riangle}=dfrac{1}{2}cdot |BC|cdot |OE|=sqrt{2}.$$