已知(k>0,b>0),且(forall x>-4,kx+bgeqslant {ln}(x+4)),则(dfrac{b}{k})的最小值为(underline{qquadqquad}.)
解析:
将原题条件重新叙述(:)
[forall x>0,k(x-4)+b-{ln}xgeqslant 0,k,b>0.
]
记上述不等式左侧为(f(x))则有$$
forall x>0,f(x)geqslant fleft(dfrac{1}{k}
ight)=b+1-4k+{ln}kgeqslant 0.$$
所以(bgeqslant 4k-1-{ln}k),从而$$
dfrac{b}{k}geqslant 4-dfrac{1+{ln}k}{k}geqslant 3.$$因此当且仅当((b,k)=(3,1))时,(dfrac{b}{k})取得最小值(3).