已知函数(f(x)=(2x+a)left(|x-a|+|x+2a|
ight)) ((a<0)),若(f(1)+f(2)+cdots+f(672)=0),则满足(f(x)=2019)的(x)的值为(underline{qquadqquad}.)
解析: 注意到(y=2x+a)的图象关于(left(-dfrac{a}{2},0
ight))中心对称,函数$$y=|x-a|+|x+2a|$$的图象关于(x=-dfrac{a}{2})轴对称,因此若记(F(x)=fleft(x-dfrac{a}{2}
ight)),则$$F(x)=2xleft(left |x-dfrac{3a}{2}
ight |+left|x+dfrac{3a}{2}
ight|
ight).$$显然(F(x))是定义在(mathbb{R})上的单调递增的奇函数.又$$
Fleft(1+dfrac{a}{2}
ight)+Fleft(2+dfrac{a}{2}
ight)+cdots+Fleft(672+dfrac{a}{2}
ight)=0.qquad (ast)$$若$$left(k+dfrac{a}{2}
ight)+left(673-k+dfrac{a}{2}
ight)>0,k=1,2,cdots 336.$$则$$
Fleft(k+dfrac{a}{2}
ight)>Fleft[-left(673-k+dfrac{a}{2}
ight)
ight].$$从而$$
Fleft(k+dfrac{a}{2}
ight)+Fleft(673-k+dfrac{a}{2}
ight)>0,k=1,2,cdots 336.$$与((ast))相矛盾,不符题设,舍去.若$$left(k+dfrac{a}{2}
ight)+left(673-k+dfrac{a}{2}
ight)<0,k=1,2,cdots 336.$$同理可证明该种情形不符题设.因此综上可知必然有$$left(k+dfrac{a}{2}
ight)+left(673-k+dfrac{a}{2}
ight)=0,k=1,2,cdots,336.$$
所以(a=-673),从而$$
F(x)=2xleft(left| x+1009.5
ight |+|x-1009.5|
ight).$$注意到(F(0.5)=2019),因此方程(f(x)=2019)的解为(x=337).