在平面四边形(ABCD)中,已知(AB=1),(AC=sqrt{5}),(BDperp BC),(BD=2BC),则(AD)的最小值为(underline{qquadqquad}.)
解析:
法一 如图,固定(AC)边长,则点(B)在以(A)点为圆心,以(1)为半径的圆上运动,
若记$angle BCD= heta$,则$D$点在以$E$点为圆心,以$sqrt 5$为半径的圆上运动,其中$EAperp CA$,且$$EA=2CA=2sqrt{5},$$所以当$D$位于线段$EA$上时$AD$取得最小值$sqrt 5$. 法二 由题,设$BC=x$,则$$ BD=2x,CD=sqrt{5}x.$$于是由托勒密不等式可得$$ ADcdot BC+ABcdot CDgeqslant ACcdot BD.$$解得$ADgeqslant 5$.上述不等式当且仅当$A,B,C,D$四点共圆时取等.因此$AD$最小值为$sqrt5$.