若(forall xgeqslant 1,x^{a+1}mathrm{e}^x+a{ln}xgeqslant 0),则(a)的最小值为(underline{qquadqquad}).
解析: 由题首先考察(a<0)的情形,设(t=-a),则(t>0),且题中不等式等价于$$
forall xgeqslant 1,xmathrm{e}^xgeqslant xt{ln}xt.$$
构造函数(F(x)=xmathrm{e}^x),显然(F(x))在([0,+infty))单调递增,因此上述不等式等价于$$
F(x)geqslant Fleft({ln}x^t
ight).$$而(x>0,{ln}x^tgeqslant 0).因此题中不等式等价于$$
forall xgeqslant 1,xgeqslant {ln}x^t=t{ln}x.$$所以$$a=-tgeqslant -mathrm{e}.$$