在面积为(1)的( riangle ABC)中,(a,b,c)为角(A,B,C)所对的边,则(dfrac{b^2(1+cos A)(1+cos C)}{1-cos B})的最小值为(underline{qquadqquad}.)
解析:
法一 (qquad)记所求表达式为(M),则由余弦定理有$$
egin{split}
M&=dfrac{b^2cdot left(1+dfrac{b2+c2-a^2}{2bc}
ight)cdot left(1+dfrac{a2+b2-c2}{2ab}
ight)}{1-dfrac{a2+c2-b2}{2ac}}
&=dfrac{1}{2}cdot dfrac{left[left(b+c
ight)2-a2
ight]left[left(a+b
ight)2-c2
ight]}{left[b2-left(a-c
ight)2
ight]}
&=dfrac{1}{2}left(a+b+c
ight)^2
&geqslant 6sqrt{3}.
end{split}$$
当且仅当( riangle ABC)为正三角形时,上述不等式取等,因此(M)的最小值为(6sqrt3).
法二(qquad)记待求表达式为(M),则$$
egin{split}
M&=dfrac{b^2left(1+cos A
ight)left(1+cos C
ight)}{dfrac{1}{2}bcsin Aleft(1-cos B
ight)}
&=2cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}.
end{split}$$
由于我们熟知三角恒等式$$cotdfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}=cotdfrac{A}{2}+cotdfrac{B}{2}+cotdfrac{C}{2}.$$因此$$
cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}geqslant 3sqrt[3]{cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}} .$$因此$$Mgeqslant 2cdot 3sqrt{3}=6sqrt{3}.$$
当且仅当(A=B=C=dfrac{pi}{3})时,(M)取得最小值(6sqrt3).