已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx)有两个极值点(x_1,x_2),且(x_1<x_2),若(x_1+2x_0=3x_2),则函数(g(x)=f(x)-f(x_0))的零点个数情况为((qquad))
(mathrm{A}.)恰有(1)个零点
(mathrm{B}.)恰有(2)个零点
(mathrm{C}.)恰有(3)个零点
(mathrm{D}.)零点个数不确定
解析: 引理(:) 三次函数的对称性 (mathrm{II} qquad) 设$$f(x)=ax3+bx2+cx+d ,a
e 0.$$的极大值为(M)，方程(fleft( x
ight) = M)的两根为$$x_1,x_2, (x_1<x_2)，$$则区间(left[ x_1,x_2
ight]) 被 (-dfrac{b}{3a})和极小值点三等分．
记三次函数的极小值点为$x_3$，则$$x_1+x_3=-dfrac{2b}{3a}.$$ 另一方面$f(x)=M=f(x_1)$得$$a(x^3-x_1^3)+b(x^2-x_1^2)+c(x-x_1)=0,$$整理得$$(x-x_1)left[ax^2+(ax_1+b)x+(ax_1^2+bx_1+c) ight]=0,$$由韦达定理有$$x_1+x_2=-dfrac{ax_1+b}{a},$$所以有$2x_1+x_2=-dfrac ba$，于是引理得证. 回到原题我们可知$$x_0=dfrac{3}{2}x_2-dfrac{1}{2}x_1=x_2+dfrac{1}{2}left(x_2-x_1 ight).$$结合三次函数的对称性$mathrm{II}$可知$$f(x_1)=f(x_0),x_1 eq x_0,$$所以$g(x)=f(x)-f(x_0)$的有且仅有两个零点.