已知数列 ({a_n}) 满足, (a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1), (ninmathbb{N}^ast).
((1)) 求 ({a_n}) 的通项公式.
((2)) ({ b_n}) 满足 (4^{b_1-1}cdot 4^{b_2-1} cdots 4^{b_n-1}=left(a_n+1
ight)^{b_n}), 求证: ({ b_n}) 是等差数列.
((3)) 证明(:) $ forall ninmathbb{N}^ast,dfrac{1}{a_2}+dfrac{1}{a_3}+cdots + dfrac{1}{a_{n+1}}<dfrac 23$.
解析:
((1)) 由题有$$
forall nin mathbb{N}^ast, a_{n+1}+1=2left( a_n+1
ight). $$
因此 $$
a_n=(a_1+1)cdot 2{n-1}-1=2n-1,ninmathbb{N}^ast.$$
((2)) 由题易知$$
4^{b_1+b_2+cdots +b_n-n}=2{nb_n}=4{frac{1}{2}n b_n}.$$
因此 (displaystyle sum_{k=1}^{n}b_k=dfrac12nb_n+n). 进而 $$
forall ninmathbb{N}^ast, b_{n+1}=sum_{k=1}{n+1}b_{k}-sum_{k=1}{n}b_k=dfrac12(n+1)b_{n+1}-dfrac 12nb_n+1.$$
整理得 (nb_n=(n-1)b_{n+1}+2,ninmathbb{N}^ast), 从而
$$
forall ngeqslant 2, dfrac{b_{n+1}-2}{n}=dfrac{b_n-2}{n-1}=cdots =dfrac{b_2-2}{2-1} .$$
所以 (forall ngeqslant 2, b_n=(b_2-2)n+2). 又 $$
b_2-b_1=b_2-2,$$
因此数列 ({ b_n}) 是以 (b_1=2) 为首项, 以 (b_2-2) 为公差的等差数列.
((3)) 由于 $$
dfrac{a_{n+1}}{a_n}=dfrac{2{n+1}-1}{2n-1}=2+dfrac{1}{2^n-1}>2.$$
所以 (dfrac{1}{a_{n+1}}<dfrac 12cdot dfrac{ 1}{a_n}), 记待证不等式左侧为 (T_n),
情形一 若 (n=1), 此时$$
T_1=dfrac{1}{a_2}=dfrac13<dfrac23.$$
情形二 若 (ngeqslant 2), 此时$$
T_nleqslant dfrac{1}{a_2}+dfrac{1}{a_3}cdot left( 1+dfrac12+cdots +dfrac{1}{2^{n-2}}
ight)<dfrac{1}{3}+dfrac27=dfrac{13}{21}<dfrac23.$$
综上, (forall ninmathbb{N}^ast, T_n<dfrac 23). 证毕.