已知点 (P(3,1)), 圆 (C: (x-1)^2+(y-2)^2=4).
((1)) 求过点 (P) 的圆 (C) 的切线方程(;)
((2)) 若圆 (C) 上的两点 (M,N) 关于直线 (l: x+my+1=0) 对称, 且 (overrightarrow{OM}cdot overrightarrow{ON}=1), 求 (S_{ riangle OMN}).
解析:
((1)) 显然点 (P) 位于圆 (C) 外, 因此过 (P) 的 圆(C) 的切线有两条. 显然 (x=3) 是其中一条, 若记另一条切线斜率为 (k), 则其方程可设为
$$
kx-y+1-3k=0.$$
由圆心 (C) 到该直线的距离等于圆 (C) 的半径可得$$
dfrac{ | kcdot 1-2+1-3k| }{sqrt{1+k^2}}=2.$$
解得 (k=dfrac 34), 因此另一条切线方程为 (3x-4y-5=0).
((2)) 由题可知直线 (l) 垂直平分弦 (MN), 因此 (l) 经过圆心 (C(1,2)), 所以 (m=-1). 如图,
(P) 为 (MN) 中点, 连接 (OC), (OP), 过 (O) 分别作 (OAperp MN), (OBperp l), 垂足分别为 $ A,B$. 设 (CP=t), 则
$$
egin{split}
1&=overrightarrow{OM}cdotoverrightarrow{ON}=left( overrightarrow{OP}+overrightarrow{PM}
ight)cdot left( overrightarrow{OP}+overrightarrow{PN}
ight)=OP2-PM2
&=OB2+BP2-left( CM2-CP2
ight)=dfrac 12+left( BC-t
ight)2-(22-t^2)
&=1-3sqrt{2}t+2t^2.
end{split}$$
解得 (t=0) 或 (t=dfrac{3sqrt{2}}{2}), 由于 (-2<t<2), 因此 (t=0), 满足题意的 (MN) 恰为直径, 从而所求三角形面积为$$
S_{ riangle OMN}=dfrac{ 1}{2}cdot OAcdot MN=BCcdot MP=3sqrt{2}.$$