已知椭圆 (E:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 半焦距为 (c), 原点到经过 ((c,0),(0,b)) 的直线距离为 (dfrac12 c).
((1)) 求椭圆 (E) 的离心率;
((2)) 如图 (AB) 是圆 (M: (x+2)^2+(y-1)^2=dfrac{5}{2}) 的一条直径, 若椭圆 (E) 过 (A,B) 两点, 求 (E) 的方程.
解析:
((1)) 若记 (P(c,0), Q(0,b)), 则 ( riangle OPQ) 为直角三角形且
$$
PQ=sqrt{OP2+OQ2}=a^2.
$$从而 (O) 到直线 (PQ) 的距离也即该直角三角形斜边上的高为 $$
dfrac 12c=dfrac{ bc}{a}.
$$
解得所求椭圆的离心率为 (dfrac{sqrt 3}{2}).
((2)) 由椭圆的垂径定理可知
$$
k_{AB}cdot k_{OM}=-dfrac{b2}{a2}.
$$ 结合题中已知条件与 ((1)) 中结论可知
$$
k_{OM}=-dfrac12, dfrac ba=dfrac 12.
$$ 因此 (k_{AB}=dfrac 12), 从而可得 (A) 点坐标的一个解
$$
egin{cases}
& x=-2+dfrac{sqrt{10}}{2}cdot dfrac{1}{sqrt{1+k_{AB}^2}}=-2+sqrt 2,
& y=1+dfrac{sqrt{10}}{2}cdot dfrac{k_{AB}}{sqrt{1+k_{AB}}}=1+dfrac{sqrt 2}{2}.
end{cases}
$$ 又 (A) 点位于椭圆 (E) 上, 因此有
$$
dfrac{left(-2+sqrt{2}
ight)2}{4b2}+dfrac{left( 1+frac{sqrt{2}}{2}
ight)2}{b2}=1.
$$ 解得 (b=sqrt3). 因此所求椭圆方程为
$$
dfrac{x2}{12}+dfrac{y2}{3}=1.
$$