每日一题_190911

点 (A) 是椭圆 (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 的右顶点, 若椭圆上存在异于端点的点 (P) 使得 (overrightarrow{OP}cdot overrightarrow{PA}=0), 则该椭圆的离心率的取值范围为(underline{qquadqquad}).

解析: 法一$ qquad $设 (P(x,y)), 则根据题意可知 (P) 在以 (OA) 为直径的圆上, 因此其坐标满足
$$
x(x-a)+y^2=0 , 0<x<a.
$$ 又点 (P) 在椭圆上, 即有 (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1), 两式联立消去 (y) 并整理得
$$
(b^2-a2)x^2+a3 x-a^2b2=0.
$$ 注意到 (x=a) 是上述方程的一个根, 于是对上式可作如下因式分解
$$
(x-a)[(a^2-b2)x-ab^2]=0, 0<x<a.
$$ 于是解得 $ x= dfrac{ab^2}{c2}$, 从而有
$$
0<dfrac{ab^2}{c2}<a.
$$ 因此所求椭圆的离心率的取值范围为 (left( dfrac{sqrt 2}{2}, 1 ight)).
(法二qquad) 由题可设 $Pleft( acos heta,bsin heta ight) $, 其中 ( heta inleft( -dfrac{pi}{2}, 0 ight) cup left( 0, dfrac{pi}{2} ight)), 则由 (overrightarrow{OP}cdot overrightarrow{PA}=0) 可得
$$
left( acos heta, bsin heta ight)cdot left( a-acos heta, -bsin heta ight)=0.
$$ 整理可得
$$
dfrac{b^2}{a2}=dfrac{cos heta}{1+cos heta}, hetain left( -dfrac{pi}{2}, 0 ight) cup left( 0, dfrac{pi}{2} ight).
$$ 所以 (dfrac{b^2}{a^2}) 的取值范围为 (left(0,dfrac 12 ight)). 从而所求椭圆离心率的取值范围为 (left( dfrac{sqrt 2}{2}, 1 ight)).