《数学分析原理》ГригорийМихайлович Фихтенгольц

整理主要的公式定理以及证明，在《陶哲轩实分析》以及Rudin的《数学分析》上的证明太少了。

第三章极限论

3. 单调函数

46. 关于区间套的引理

区间套引理 设有一个套着一个的区间的无穷序列

[[a_1,b_1],[a_2,b_2],cdots,[a_n,b_n],cdots, ]

后面的每一个总包含在前面的一个之内（区间套），并且当(n)上升时这些区间的长度趋向于零：

[lim_{n ightarrow infty}(b_n-a_n)=0. ]

于是区间的端点(a_n)和(b_n)（从不同的两边）趋向于公共的极限

[c=lim_{n ightarrow infty}a_n=lim_{n ightarrow infty}b_n ]

5. 收敛原理

51.部分序列

波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 从任何有界的序列中总可以选出收敛于有限的极限的部分序列.

第四章一元连续函数

2. 连续函数的性质

68. 关于函数取零值的定理

波尔查诺-柯西第一定理 设函数(f(x))是在闭区间([a,b])上定义的并且是连续的，又在这区间的两端处取异号的数值，则在(a)与(b)之间必可求得一点(c)，使在这点处函数成为零：(f(c)=0quad (a<c<b).)

第八章多元函数

2. 连续函数

135. 波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理

将51段中的引理推广到任意维空间的点序列.
波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 从任一有界的点序列

[M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),cdots,M_n(x_n,y_n),cdots ]

中恒可以取出一极限点的部分序列

[M_{n_1}(x_{n_1},y_{n_1}),M_{n_2}(x_{n_2},y_{n_2}),cdots,M_{n_k}(x_{n_k},y_{n_k}),cdots\(n_1<n_2<cdots<n_k<,cdots ,n_k ightarrow +infty) ]

证明应用51段中证得得关于线性序列的引理.

136. 关于函数有界性的定理

魏尔斯特拉斯第一定理 若函数(f(x,y))定义且连续于某个有界闭区域(mathscr{D})中，则它是有上下界的，就是说，函数值全部必介于两个有限界之间：(mleqslant f(x,y)leqslant M).
证明：采用反证法，应用135段引理.

魏尔斯特拉斯第二定理 与73段相类似

137. 一致连续性

康托尔定理 若函数(f(x,y))在有界闭区域(mathscr{D})上连续，则它在(mathscr{D})上也一致连续.
证明：采用反证法

推论若(f(x,y))在有界闭区域(mathscr{D})上连续，则对已知的(varepsilon>0)必可找到(delta>0), 使得无论怎样将此区域分为部分区域(mathscr{D}_1,mathscr{D}_2,cdots,mathscr{D}_k), 只要其直径小于(delta)，则在每一部分上，函数的振幅都小于(varepsilon).

第十一章定积分

4.积分的近似计算

本节有189段梯形公式、190段抛物线公式、191段近似公式的余项、192段例。
内容参考知乎回答：辛普森公式的几何意义

第十五章数项级数

2.正项级数的收敛性

237. 级数比较定理

如何证明书上的这个定理？

241. 麦克劳林-柯西积分检验法

麦克劳林-柯西积分检验法 正项级数(sum a_n)在原函数(F(x))的极限(L)有限时收敛，在(L)无限时发散。（(f(n)equiv a_n,f(n))连续、正的并且单调下降）

3. 任意级数的收敛性

242. 收敛性原理

级数((A))定义于(234)段

[A=sum_{n=1}^infty{a_n} ]

级数的收敛性原理由(52)段的序列的收敛原理导出。
收敛性原理 要级数((A))收敛，其必要而充分的条件是要对每个实数(varepsilon>0)都有这样一个序号(N)与之对应，使在(n>N)时不等式

[|A_{n+m}-A_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+cdots +a_{n+m}|< varepsilon ]

对一切(m=1,2,3,cdots)恒成立.

243. 绝对收敛性

柯西定理 只要级数((A))各项绝对值所成的级数((A^*))收敛，则级数((A))也收敛.
证明：由绝对值不等式及收敛性原理

[left|sum_{k=n+1}^{n+m}a_k ight|leqslant sum_{k=n+1}^{n+m}|a_k|<varepsilon ]

4. 收敛级数的性质

246. 绝对收敛级数的可交换性

狄利克雷定理 如果级数((A))绝对收敛，则由调动它的各项位置所得到的级数((A'))也收敛并且与原级数有同一总和(A). (color{red}{（绝对收敛级数具有可交换性.）})
证明：略

247. 非绝对（条件）收敛级数的情形

黎曼重排定理 如果级数((A))非绝对收敛，则无论预先取一个怎样的数(L)，无论有限或为(pm infty)，总能将这级数各项调动位置而使变换后的级数有和(L).
(color{red}{非绝对收敛性的实现只由于正负项的相互抵消，因此主要地取决于各项的先后次序，但绝对收敛性则建立在这些项的下降速度上而与其次序无关.})
证明：容易证明级数((A))的正子级数((B))和负子级数((-C))发散.
先证明(L)有限的情形，我们将级数((A))的诸项调动如下：我们先按级数中原来的次序抽取充分多个正项，使其和超过(L):

[b_1+b_2+cdots+b_{k_1}>L ]

在它之后接着（按级数中原来次序）写出充分多负项，使总和变成小于(L):

[b_1+b_2+cdots-c_1-c_2-cdots-c_{m_1}<L ]

然后又由剩下的各项里抽取正项写在后面大于(L)，抽取充分多负项使得小于(L). 如此进行下去，设想其延续无穷；显然级数(A)的每项连同其正负号都将于一定位置出现.
如果每次写出(b)或(c)时所取项数都恰好能够使所要求的不等式实现为止，则(L)正或负的偏差的绝对值不会超过最后所写的一项，根据

[lim_{k ightarrow infty}b_k=0, \,lim_{m ightarrowinfty}c_m=0 ]

可知级数((b_1+cdots+b_{k_1})-(c_1+cdots+c_{m_1})+cdots+(b_{k_{i-1}}+cdots+b_{k_i})-(c_{m_{i-1}}+cdots+c_{m_i})+cdots)收敛于和(L)，并且去掉括号后仍然正确.
如果(L=+ infty),则可以如此来取各组正数，使逐次的和大于(1,2,3,cdots)，而每次正数之后则只附加一个负项. 同样方式也可以得出一个总和(-infty)的级数.

248. 级数乘法

柯西定理 如果级数((A))与((B))都绝对收敛，则由乘积(sumlimits_{i=1}^{infty}sumlimits_{k=1}^{infty}a_ib_k)所组成的级数(a_1b_1+(a_1b_2+a_2b_1)+cdots+(a_1b_n+cdots+a_nb_1)+cdots)也收敛，并且其和就是该二级数之积(AB).
证明：略

第十六章函数序列及函数级数

1. 一致收敛性

263. 导言

序列

[f_1(x),f_2(x),f_3(x),cdots,f_n(x),cdots ag{16-1} ]

极限

[f(x)=lim_{x ightarrow infty}f_n(x) ag{16-2} ]

级数

[sum_{n=1}^infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+cdots+u_n(x)+cdots ag{16-3} ]

部分和

[f_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+cdots+u_n(x) ag{16-4} ]

264.一致收敛性及非一致收敛性

定义 （函数序列一致收敛）如果
1 ) 序列((16-1))在(mathscr{X})内有一极限函数(f(x))
2 ) 对每一数(varepsilon>0)都存在这样一个与(x)无关的序号(N)，使在(n>N)时不等式(|f_n(x)-f(x)|<varepsilon)同时对(mathscr{X})内的所有(x)都成立.
则称序列((16-1))对区域(mathscr{X})内的(x)一致地收敛于函数(f(x)).

定义 （函数级数一致收敛） 如果部分和(f_n(x))对区域(mathscr{X})内的(x)一致地趋于级数之和(f(x))（也就是说级数的余弦(varphi_n(x))一致趋于0），则称级数(sumlimits_{n=1}^{infty}u_n(x))在这区域内一致收敛.

[f_n(x)=sum_{k=1}^n u_n(x),\,varphi_n(x)=f(x)-f_n(x) ]

等价定义 一个在区域(mathscr{X})内所有(x)值上都收敛的级数(sumlimits_{n=1}^{infty}u_n(x)). 如果对每一(varepsilon>0)恒存在这样的一个与(x)无关的序号(N)，使在(n>N)时不等式

[|f_n(x)-f(x)|<varepsilon或|varphi_n(x)|<varepsilon ]

对(mathscr{X})内的所有(x)都成立，则称为在此区域内是一致收敛的.

265.一致收敛性条件

函数序列一致收敛性条件（波尔查诺-柯西定理，收敛性原理转化得到） 要序列((16-1))
1 ) 有一极限函数
2 ）对区域(mathscr{X})内的(x)值一致收敛于这个函数，则必须且只需对每一(varepsilon>0)存在这样一个与(x)无关的序号(N)使在(n>N)时并在任何(m=1,2,3,cdots)之下不等式

[|f_{n+m}-f_{n}(x)|<varepsilon ]

对(mathscr{X})内所有(x)值都同时成立.

函数级数一致收敛性条件 要级数((16-3))在区域(mathscr{X})内一致收敛，其必要而充分的条件是要对每一数(varepsilon>0)恒有这样一个与(x)无关的序号(N)，使在(n>N)及任何(m=1,2,3,cdots)之下成立不等式

[left|sum_{k=n+1}^{n+m}u_k(x) ight|=|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+cdots+u_{n+m}(x)|<varepsilon ]

对(mathscr{X})内所有(x)都同时成立.

魏尔斯特拉斯检验法如果函数级数((16-3))各项在区域(mathscr{X})内满足不等式

[|u_n(x)|leqslant c_n,\, (n=1,2,3,cdots), ]

而(c_n)是某一收敛数级数

[sum_{n=1}^infty c_n=c_1+c_2+cdots+c_n+cdots ]

的一般项，则级数((16-3))在(mathscr{X})内一致收敛.
（此处有个小概念，函数级数被数级数所控制，或者说数级数是函数级数的控制级数）

2. 级数和的函数性质

266. 级数和的连续性

定理1 如果函数(u_n(x),(n=1,2,3,cdots))在区间(mathscr{X}=[a,b])内有定义并且连续，而级数

[sum_{n=1}^infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+cdots+u_n(x)+cdots ]

在(mathscr{X})内一致收敛于其和(f(x))，则此和在区间(mathscr{X})内连续.
证明：略

定理1' 如果函数(f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x),cdots)在区间(mathscr{X}=[a,b])内有定义并且连续，且序列在(mathscr{X})内一致收敛于极限函数(f(x))，则此函数(f(x))也在(mathscr{X})内连续.
证明：略

267. 正项级数的情形

迪尼定理 设级数各项在区间(mathscr{X}=[a,b])内连续而且非负，如果该级数有总和(f(x))，且(f(x))也在区间(mathscr{X})内连续，则该级数在此区间内一致地收敛.
证明：略

迪尼定理' 设由区间(mathscr{X}=[a,b])内连续地函数所组成地序列在在(n ightarrow infty)时，趋于极限函数(f(x))，且单调递增：(f_{n+1}(x)geqslant f_n(x)).如果函数(f(x))在(mathscr{X})内也连续，则(f_n(x))在(mathscr{X})内一致地收敛于(f(x)).
证明：略

3. 幂级数及多项式级数

魏尔斯特拉斯定理 如果一个函数(f(x))在有限闭区间([a,b])内连续，则存在一个多项式序列({P_n(x)})，它在这区间内一致收敛于(f(x)).

第十七章反常积分

1. 带无限积分限的反常积分

[Phi(A)=int_a^Af(x) ext{d}x ag{17-4} ]

285.正函数情形的积分收敛性

如何证明书上的这个定理？

286. 一般情形的积分收敛性

波尔查诺-柯西定理应用于反常积分收敛性条件 要反常积分(intlimits_{0}^{+infty}f(x) ext{d}x)收敛，其必要而充分的条件是要对每个数(varepsilon>0)恒有这样一个数(A_0>a)与之相应，使在(A>A_0)并且(A'>A)时成立不等式

[|Phi(A')-Phi(A)|=left|int_a^{A'}f(x) ext{d}x-int_a^Af(x) ext{d}x ight|=left|int_A^{A'}f(x) ext{d}x ight|<varepsilon ]

287. 更精致的检验法

这里关心的是保证乘积的积分

[int_a^{+infty}f(x)g(x) ext{d}x ag{17-5} ]

的收敛条件.
检验法1 1 )积分((17-4))是有界函数(|Phi(A)|leqslant K)（(K)为常数，(aleqslant A<+infty)）；2）(x ightarrow +infty)时(g(x) ightarrow 0). 于是积分((17-5))收敛.
检验法2 1 ）存在反常积分

[int_a^{+infty}f(x) ext{d}x=lim_{A ightarrow +infty}Phi(A) ]

2 )函数(g(x))有界：

[|g(x)|leqslant Lquad (L是常数；aleqslant x<+infty) ]

积分((17-5))也收敛.

292. 反常积分中的变量替换

积分公式 罗切巴夫斯基积分公式

[int_0^{+infty}f(x)frac{sin x}{x} ext{d}x=int_0^{pi/2}f(x) ext{d}x ]

293. 积分的技巧计算法

[**怎么计算概率积分 ∫0, +∞) (e^(-x²))dx？**

第十八章带参变量的积分

1. 基本理论

295. 一致趋于极限函数

300.例

如何构造这样的二重积分?

307.关于带有有限积分限的积分的一个笺注