概
CDE: Controlled Direct Effect;
NDE: Natural Direct Effect;
NIE: Natural Indirect Effect.
TDE: Total Direct Effect;
TIE: Total Indirect Effect;
PDE: Pure Direct Effect;
PIE: Pure Indirect Effect.
主要内容
graph LR
X(X) -->Z(Z) --> Y(Y)
X --> Y
设想, 药物(X)的影响通过俩种途径:
- 直接对身体产生的影响;
- 服用药物(X)会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.
如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的(X ightarrow Y)这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?
CDE
average CDE的计算是:
[mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)]
-mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)],
]
之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定(Z=z).
用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为(z).
NDE
average NDE的计算是:
[mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})]
-mathbb{E}[Y|do(X=x^*)],
]
相当于, 一个人服用了药物(x), 但是我们骗他说服用了药物(x^*), 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物(x^*)后的量.
不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:
需要满足:
[Y_{xz} amalg Z_{x^*} | W,
]
这里(W)是confounder.
此时:
[NDE(x, x^*, Y) = sum_{w, z}[mathbb{E}[Y_{x,z}|w] - mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w]]P(Z_{x^*}=z|w)P(w).
]
NIE
有些时候我们想要的是支线(X ightarrow Z ightarrow Y), 此时我们需要计算NIE:
average NIE的计算是
[mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})]
-mathbb{E}[Y|do(X=x^*)].
]
类似的解释.
满足
[Y_{x^*, z} amalg Z_x | W,
]
可以得到
[NIE(x, x^*, Y) = sum_{w, z}mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w).
]
TDE, TIE, PDE, PIE
可以发现:
[egin{array}{rl}
mathbb{E}[Y_{x}]
- mathbb{E}[Y_{x^*}]
&=mathbb{E}[Y_{xz}]
-mathbb{E}[Y_{x^*z^*}] \
&=underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz}]-mathbb{E}[Y_{xz^*}])}_{TIE} +
underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz^*}]-mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PDE}\
&=underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz}]-mathbb{E}[Y_{x^*z}]])}_{TDE} +
underbrace{(mathbb{E}[Y_{x^*z}]-mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PIE}.
end{array}
]