BAIRE ONE FUNCTIONS (Baire第一类函数)

定义
导函数
- 一致收敛性质
$F_{sigma}$
$f$的连续点

JOHNNY HU, BAIRE ONE FUNCTIONS.

一些基本的定义(诸如逐点收敛, 一致收敛(F_{sigma})集合等)就不叙述了.

定义

Definition: 令(Dsubseteq mathbb{R}), 函数(f:D ightarrow mathbb{R}), 若存在连续函数列({f_n})逐点连续收敛到(f), 则称为Baire第一类函数.

注: Baire第n类函数为Baire第n-1类函数的极限点.

很显然是:

连续函数必为Baire第一类函数;
仅有有限个不连续点的函数是Baire第一类函数;
Baire第一类函数不一定是连续函数;
Baire第一类函数对加法和数乘封闭;

导函数

定理1: 假设(f:mathbb{R} ightarrow mathbb{R})是可微的, 则(f')是Baire第一类函数.

[lim_{n ightarrow infty} n(f(x+frac{1}{n})-f(x)). ]

一致收敛性质

引理1: 如果(f:[a,b] ightarrow mathbb{R})是有界的Baire第一类函数, 则存在拥有共同界的连续函数列({f_n})逐点收敛到(f).

[f_n(x) = left { egin{array}{ll} -M, & mathrm{if} : g_n(x) < -M; \ g_n(x),& mathrm{if} :-M le g_n(x) le M; \ M, & mathrm{if} g_n(x) > M. end{array} ight. ]

引理2： 令({f_k})为定义在([a, b])上的Baire第一类函数列, (sum_{k=1}^{infty} M_k)为一收敛的正项级数. 如果(|f_k(x)|le M_k, i=1,2,ldots,k, forall x in [a, b]), 则函数(f(x)=sum_{k=1}^{infty} f_k(x))属于Baire一类函数.

[|g_{kn}-f_k|, |sum_{k=1}^n g_{kn}-sum_{k=1}^{infty}f_k|. ]

定理2: 令函数列({f_n})为定义在([a,b])上的Baire第一类函数, 且一致收敛到(f), 则(f)同样是Baire第一类函数.

[|f_{n_k}(x)-f(x)|le 2^{-k} Rightarrow |f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| le frac{3}{2}2^{-k}. ]

[g(x):=sum_{k=1}^{infty} f_{n_{k+1}}-f_{n_k}. ]

(F_{sigma})

引理5: 假设([a, b]=cup_{k=1}^n A_k)且(A_k)为(F_{sigma})集合, 则([a,b]=cup_{k=1}^nB_k), 其中(B_k)为(F_{sigma})集合, 且(B_k subseteq A_k) 并且俩俩不交.

[H_i:=E_i setminus cup_{j=1}^{i-1}E_j. ]

引理8: 如果(E)为一闭集. 如果(f:E ightarrow mathbb{R})在(E)上连续, 则存在一个扩张(f_e:mathbb{R} ightarrow mathbb{R})连续且(f(x)=f_e(x), xin E).

引理9: 假设([a,b]=cup_{k=1}^n B_k), (B_k)为(F_{sigma})集且俩俩不交, 定义

[f(x):= sum_{k=1}^n c_k chi_{B_k}(x), : x in [a, b]. ]

则(f)为Baire第一类函数.

定理3: 函数(f:[a,b] ightarrow mathbb{R})在([a, b])上连续, 当且仅当集合({xin[a, b]: f(x)<r})和({x in [a,b]: f(x) >r})关于任意(r in mathbb{R})为(F_{sigma})集合.

(Rightarrow)显然, 反之首先用引理5, 8, 9 (并结合一致收敛性) 证明(f)在有界函数下成立, 再构造复合函数

[h circ f ]

其中(h)为严格单调上升连续有界函数, 并利用事实:

[a circ b ]

若(a)为连续函数(b)为Baire第一类函数, 则(a circ b)亦为Baire第一类函数.

(f)的连续点

定义: (A subseteq mathbb{R}), 我们称

[omega (A):= sup {|f(x)-f(y)|:x,yin A} ]

为(f)在(A)处的振荡(oscillation).

定义: 对于(x_0 in mathbb{R}), 令(A_{delta}:= (x_0-delta, x_0 + delta), forall delta > 0), 我们称

[omega(x_0) = lim_{delta ightarrow 0} omega (A_{delta}) ]

为(f)在点(x_0)出的振荡.

引理10: (f)在(x_0)出连续的充分必要条件是(omega(x_0)=0).

引理11: 假设({D_n})为一闭集列且([a, b]=cup_{n=1}^{infty}D_n), 则至少有一个(D_n)包含一个闭区间.

注: 此乃Baire定理, 一个等价(或更一般)的描述为:

(E subseteq mathbb{R}^n)为(F_{sigma})集, 即(E=cup_{k=1}^{infty} F_k), 其中(F_k)为闭集. 若每个(F_k)皆无内点, 则(E)也无内点.

定理5: 如果(f:mathbb{R} ightarrow mathbb{R})为Baire第一类函数, 则每个闭区间都包含(f)的一个连续点.