引
这篇文章同样是关于矩阵恢复的。假设(M = L_0 + C_0 in mathbb{R}^{p imes n})，即(M)实际上是由一个低秩矩阵(L_0)和稀疏矩阵(C_0)构成。需要注意的是，这里的稀疏不是指某些元素为0，而是某列为零。可以简单地认为，(L_0)中是一些有用的正确的样本，而(C_0)中的是错误的样本（非零的部分）。所以，我们能够从中将(L_0)的列空间恢复出来，并识别出那些样本属于(C_0)，即是错误的呢？
上面的作者的说法，我再用自己的话讲一下。(M)中的每一列都是一个(p)维样本，有些时候我们会遇到这种情况，有些样本是错误的。这个错误是指很严重的错误，而不是被一些噪声污染了，就像是这些数据是人的身高体重，却混入了长颈鹿的身高体重。所以呢，我们有理由相信，俩者分布在俩个子空间里，我们要做的就是判断哪个子空间里是我们想要的，哪个是错误的样本。显然正确的样本不能太少，而且正确的样本必须靠的紧凑一些。所以，这么想来，其实要求还不少。
显然直接这么做是不可靠的，举一个极端的例子：(M)中仅有(M_{11})非零，那么显然是无法判断第一列是否是正确的样本的。所以，我们需要一个不连贯条件:
此外，作者也考虑了带噪声的问题(M = L_0 + C_0 + N)，其中(N)是噪声。
针对不带噪声的问题，作者求解的下列问题：
其中(|C|_{1,2}= sum_{i=1}^n |C_i|_2)为列的(ell_2)范数的和,(|L|_*)是(L)的核范数。
针对带噪声问题，作者求解的是下列问题：
主要结果
定理1
定理2
理论证明
构造Oracle Problem
其中(L_0 = U_0Sigma_0V_0^T), (mathcal{I}_0)是(C)中不为0的非稀疏列的指标集，下面的类似的符号也类似的定义。
这个神谕问题，假设(U_0, V_0, mathcal{I}_0)是已知的。
作者先证明，满足(M=L'+C';mathcal{P}_{U_0}(L')=L';mathcal{P}_{mathcal{I_0}}(C')=C')的解有下列性质：
这意味着，(hat{L})的列空间和(L_0)的列空间一致，(hat{C})中的列（非0）也确实是错误的列。
作者再证明，对于((L', C'))（不要求其为Oracle Problem的最优解，可行解即可）,只要能找到一个(Q)满足对偶条件：
那么，((L',C'))也是原始问题（2）的最优解，而且如果((b), (d))不等式是严格成立的，且(mathbb{S}_{mathcal{I_0}}cap mathbb{S}_{V'} = {0})，那么((L', C'))将是（2）的唯一最优解。
结合上面的证明，我们可以知道，只要我们能够证明这样的(Q)是存在的，那么((L', C'))就恢复出了同一个列子空间，并识别出了部分错误的样本。
所以我们现在需要做的就是去构造这样的一(Q)，假设Oracle Problem的最优解为((hat{L}, hat{C}))，作者在这个解的基础上，构造一个(Q)。
有定理四：
其中:
(ar{V} = hat{V}hat{U}^TU_0)。
最后再证明定理4中的条件是能够达成的即可。
算法
其中(mathfrak{L}_{epsilon}(S))：如果(S_{ii} le epsilon)，截断为0，否则(S_{ii} := S_{ii} - epsilon cdot sgn(S_{ii}))。
(mathfrak{C}_{epsilon}(C)): 如果(|C_i|_2 le epsilon),则将整列截断为0，否则(C_i := C_i - epsilon C_i / |C|_2)